Prezantimi mbi poliedrat e rregullt. Elementet e simetrisë së një oktaedri të rregullt

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha opsionet e prezantimit. Ne qofte se je i interesuar kjo pune ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Objektivat e mësimit:

• të njohë studentët me konceptin e një shumëkëndëshi të rregullt dhe me pesë llojet e shumëkëndëshave të rregullt,
• kontribuojnë në zhvillimin e aftësive për t'u përdorur teknologji kompjuterike kur mësoni materiale të reja
• promovojnë zhvillimin e veprimtarisë së pavarur, aftësinë për të krahasuar, përgjithësuar.

Pajisjet e mësimit:

• Projektor multimedial, ekran, kompjuter
• Prezantimi "Polyedra e rregullt"
• Modele të rregullta poliedrike
• Kartat - detyra "Detyrat për vizatimet e përfunduara" - Shtojca 1
• Tabela "Poliedra të rregullta"
• Fletushka "Fjalëkryq" - Shtojca 2

GJATË ORËSVE

1. Momenti organizativ(5 minuta.)

Qëllimi i orës së mësimit (Komunikimi i temës, qëllimi i orës së mësimit dhe rendi i punës)
Seksioni mbi poliedrat e rregullt është përshkrues; një mësim i kushtohet studimit të tij. Materiali mbi poliedrat e rregullt në thelb plotëson dhe plotëson logjikisht seksionin "Polyedra". Në fakt, klasifikimi i poliedrave vazhdon këtu; ato të rregullta zgjidhen nga poliedrat konveks.

2. Mësimi i materialit të ri(15 minuta.)

Mësuesi duhet të organizojë punën në mënyrë që koncepti i ri i "poleedronit të saktë" të formohet mbi bazën e ideve tashmë të krijuara të studentëve rreth prizma të sakta, piramidat dhe shumëkëndëshat e rregullt.
Ekzistenca e vetëm pesë llojeve të poliedrave të rregullt raportohet pa prova. Vërtetimi i kësaj teoreme mund të konsiderohet në mësimet e lëndës zgjedhore përkatëse.

Prezantimi "Polyedra e rregullt"

Prezantimi u përgatit me temën “Poliedra të rregullta” për nxënësit e klasave 10-11 të shkollave të mesme dhe nxënësit e shkollave profesionale. Materiali ofron informacion historik për poliedrat e rregullt, veçoritë, vetitë e tyre. Janë dhënë shembuj nga bota përreth ku mund të gjenden poliedra. Prezantimi mund të përdoret në mësimet e gjeometrisë, lëndët me zgjedhje, si dhe aktivitetet jashtëshkollore matematikë.

Përdorimi i një prezantimi në një mësim ju lejon të kurseni kohë, ta bëni studimin e materialit më interesant, plot ngjyra dhe të pazakontë.

Slides 2, 3- Prezantohet përkufizimi i poliedrit të saktë dhe kryhet vetëkontrolli nga studentët për asimilimin e përkufizimit.
"Ka shumë pak poliedra të rregullta sfiduese, - shkruar dikur nga L. Carroll, - por kjo shkëputje shumë modeste arriti të futej në thellësi të shkencave të ndryshme.

Rrëshqitje 4-9- Raportohet ekzistenca e vetëm pesë llojeve të poliedrave të rregullt dhe për secilin prej poliedroneve paraqitet vizatimi i tij, imazhi vëllimor, zhvillimi i sipërfaqes dhe vetitë themelore.
Që nga kohërat e lashta, poliedronët kanë tërhequr vëmendjen e njerëzve me bukurinë, përsosmërinë dhe harmoninë e tyre.

Rrëshqitja 10- Sfondi historik - informacion nga historia e Platonit dhe poliedra të rregullta.

Rrëshqitja 11- Elementet e poliedrit të rregullt, varësia ndërmjet elementeve. Teorema e Euler-it.

Slide15- Leonard Euler

Interesi i veçantë për poliedrat e rregullt lidhet me bukurinë dhe përsosmërinë e formave të tyre. Ato janë mjaft të zakonshme në natyrë.

Slides 12, 13- Polyedra të rregullta në natyrë, në veçanti, në kristalografi.

Rrëshqitja 14- Përfundim dhe detyra shtëpie
Pas studimit të materialit të ri, asimilimi i materialit kontrollohet duke përdorur modele të kornizave dhe planeve të poliedronëve dhe tabelës "Poliedra të rregullta". Pas kësaj, nxënësit fillojnë të zgjidhin probleme duke përdorur vizatime të gatshme.

3. Zgjidhja e problemeve(17 min.) - Shtojca 1

№1. Gjeni lartësinë e një tetraedri të rregullt me ​​buzë 10 cm.

E dhënë: ABCD - tetraedron i rregullt,
AB = 10 cm

Gjej: lartësia e katërkëndëshit

Zgjidhje.

1) AF është mesatarja ΔABC, kështu që BF = ______

2) Nga ΔABF, nga teorema _______, gjejmë AF

AF 2 = AB 2 - BF 2

3) O ndan segmentin AF në një raport 2: 1, prandaj AO = _____________________

4) Nga ΔADO, sipas teoremës së Pitagorës, gjejmë DO

DO 2 = ____________
DO = ____________

Përgjigje: ______ cm

nr 2. Zgjidheni problemin duke përdorur planin e zgjidhjes

Kristali ka formën e një tetëedri, i përbërë nga dy piramida të rregullta me një bazë të përbashkët, buza e bazës së piramidës është 6 cm. Lartësia e tetëkëndëshit është 14 cm. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të kristalit .

Zgjidhje.

1) Ana = 2 Spir = p ∙ SK (ku SK është apotemë, p është gjysmëperimetri ABCD)

2) Gjeni OK ________________________

3) Gjeni SO ________________________
______________________________________

4) Gjeni SK _______________________
______________________________________

5) Llogaritni anën S _____________________
______________________________________

№3. Vërtetoni se skajet e dy diagonaleve joparalele të faqeve të kundërta të një kubi janë kulmet e një katërkëndëshi.

4. Detyrë shtesë.

Fjalëkryq (punë në dyshe) Shtojca 2
Në varësi të nivelit të gatishmërisë së klasës ose grupit të studentëve, ju mund t'i ofroni ato detyrë shtesë në formën e fjalëkryqit. Nëse një klasë ose grup ka aftësi të ulëta matematikore, atëherë fjalëkryqi mund të ofrohet për zgjidhje në mësimin e ardhshëm si një përsëritje e materialit të studiuar më parë.

5. Përmbledhje e mësimit(5 minuta.)

Rezultati i mësimit parashikon një diskutim me studentët në fund të mësimit jo vetëm për suksesin e zbatimit të qëllimeve të përcaktuara, por edhe për atë që u pëlqeu (nuk u pëlqeu) dhe pse, çfarë ishte personalisht e dobishme për të. , çfarë do të dëshironte të përsëriste, çfarë të ndryshonte gjatë punës së mëtejshme.

6. Detyre shtepie (3 min.)

Bëni sipërfaqe të shpalosura të shumëkëndëshave të rregullt (tetraedri i rregullt, kubi, tetëkëndëshi).
Përgjigjuni pyetjeve nr. 30, 31 f. 243, Pogorelov A. V. "Geometria 10-11"
Zgjidh problemat nr 57 fq 249, nr 70 fq 248

Detyrat e shtëpisë përfshijnë zgjidhjen e problemeve dhe ndërtimin e shpalosjes dhe modeleve të poliedrave të rregullt. Nxënësit zgjedhin vetë se cilën nga poliedrat e konsideruar do të performojnë (mund të "ndani" një klasë ose grup në pesë grupe sipas numrit të llojeve të poliedrave të rregullta dhe secilit grup mund t'i ofrohet të bëjë vetëm një nga poliedrat e rregullt).

Rrëshqitja 2

Prezantimi. Referencë historike. Tetrahedron. Kub (gjashtëkëndor). Tetëkëndësh. Dodekahedron. Ikozaedri. Kontrolloni veten. Burimet.

Rrëshqitja 3

Prezantimi.

Një shumëkëndësh konveks quhet i rregullt nëse faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt me ​​të njëjtin numër brinjësh dhe të njëjtin numër brinjësh konvergojnë në secilën kulm të politopit. Ekzistojnë pesë lloje të poliedrave të rregullt konveks: katërkëndësh, kub, tetëkëndor, dodekaedron, ikozaedron.

Rrëshqitja 4

REFERENCA HISTORIKE.

Të gjitha këto lloje poliedrash ishin të njohura në Greqia e lashte... Libri XIII i Fillimeve të Euklidit u kushtohet këtyre trupave të bukur. Ata quhen edhe trupat e Platonit. Ata zënë vend të dukshëm në botëkuptimin e tij idealist. Katër prej tyre përfaqësojnë katër "esenca" ose "elemente" në të: katërkëndëshi është zjarri, ikozaedri është uji, kubi është toka dhe oktaedri është ajri. Dodekahedroni mishëruar "gjithçka që ekziston", simbolizonte të gjithë botëkuptimin, u nderua si më i rëndësishmi.

Rrëshqitja 5

TETRAHEDRON.

"Tetrahedron" fjalë për fjalë nga greqishtja do të thotë "tetrahedron". tre skaje konvergojnë në çdo kulm. Tetraedri është një piramidë trekëndore me të gjitha skajet të barabarta.

Rrëshqitja 6

GJASHTËHEDRON.

"Hexahedron" në përkthim nga greqishtja do të thotë "gjashtëkëndësh". Të gjitha faqet e një kubi janë katrore; tre skaje konvergojnë në çdo kulm. Një kub është një paralelipiped drejtkëndor me skaje të barabarta.

Rrëshqitja 7

TETËHEDRON.

"Octahedron" në përkthim nga greqishtja do të thotë "oktaedron". Tetëkëndëshi i fytyrës është trekëndësh i rregullt, por ndryshe nga një katërkëndësh, katër skajet konvergojnë në secilën nga kulmet e tij.

Rrëshqitja 8

DODEKAEDRI.

"Dodecahedron" në përkthim nga greqishtja do të thotë "dodecahedron". Fytyrat e dodekaedronit janë pesëkëndësha të rregullt. Tre skaje konvergojnë në çdo kulm.

Rrëshqitja 9

ICOSAEDR.

"Icosahedron" në përkthim nga greqishtja do të thotë "njëzet e njëzet". Fytyrat e ikozaedrit janë trekëndësha të rregullt, por ndryshe nga tetraedri dhe tetëkëndëshi, pesë skajet konvergojnë në secilën kulm.

Rrëshqitja 1

Rrëshqitja 2

Rrëshqitja 3

Rrëshqitja 4

Rrëshqitja 5

Rrëshqitja 6

Rrëshqitja 7

Rrëshqitja 8

Rrëshqitja 9

Rrëshqitja 10

Rrëshqitja 11

Përkufizim Një politop konveks quhet
e saktë nëse janë të gjitha anët e saj
shumëkëndësha të rregullt të barabartë dhe në
çdo kulm i tij konvergon një dhe të njëjtën
të njëjtin numër brinjësh. E sakte
ka vetëm pesë poliedra: një katërkëndor,
gjashtëkëndor, tetëkëndor, dodekaedron, ikozaedron.

Shembuj të poliedrave të rregullt:

Shembuj të poliedrave të rregullt:

Karakteristikat dhe formula:

Elementet e simetrisë së një oktaedri të rregullt:

Elementet e simetrisë së një ikozaedri të rregullt:

Elementet e simetrisë së kubit:

Elementet e simetrisë së një dodekaedri të rregullt:

Të gjitha informacionet janë marrë nga:

Polyedra të rregullta dhe gjysmë të rregullta

Në veprimtarinë e tij, një person kudo përballet me nevojën për të studiuar formën, madhësinë dhe rregullimin e ndërsjellë të figurave hapësinore. Një klasë e rëndësishme trupash formohet nga shumëkëndëshat - trupa kufiri i të cilëve përbëhet nga shumëkëndësha. Në oqeanin e gjerë të formave poliedrike, pesë poliedra të rregullta, ose trupa të ngurtë platonike, dallohen për përsosmërinë e tyre.

Polyedron - një trup gjeometrik, i kufizuar nga të gjitha anët me shumëkëndësha të sheshtë, të quajtur faqe.

Anët e faqeve quhen skajet e shumëfaqëshit, dhe skajet e skajeve quhen kulme të shumëkëndëshit. Për nga numri i faqeve dallohen katërkëndëshat, pesëkëndëshat etj.

Një shumëfaqësh quhet konveks nëse ndodhet i gjithi në njërën anë të rrafshit të secilës prej faqeve të tij. Një shumëkëndësh konveks quhet i rregullt nëse të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt identikë dhe të gjithë këndet shumëkëndësh në kulmet janë të barabarta.

Tetrahedron (nga greqishtja tetra - katër dhe hedra - fytyrë) është një shumëfaqësh i rregullt i përbërë nga 4 trekëndësha barabrinjës.

Kristalet e fosforit të bardhëe formuar nga molekulat P4, Një molekulë e tillë ka formën e një tetraedri. Molekulat e izomerëve pasqyrë të acidit laktik janë gjithashtu tetraedra. Rrjeta kristalore e metanit ka formën e një tetraedri. Metani digjet me një flakë të pangjyrë. Formon përzierje shpërthyese me ajrin. Përdoret si lëndë djegëse.

Sfaleriti - sulfid zinku (ZnS).Kristalet e këtij minerali janë në formën e tetraedroneve, më rrallë - rombododekaedroneve

Secila nga 8 kulmet e kubit është kulmi i 3 katrorëve.

Kubi ka 12 skaje me gjatësi të barabartë.

Qendra e simetrisëkubi është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Në qendër të simetrisë kalojnë 9 boshte simetrie. Boshti i simetrisë së një kubi mund të kalojë ose përmes mesit të skajeve paralele që nuk i përkasin njërës faqe, ose përmes kryqëzimit të diagonaleve të faqeve të kundërta.

Kub transferon formën e kristaleve të klorurit të natriumit NaCl.

Rrjetat kristalore të shumë metaleve ( Li, Na, Cr, Pb, Al, Au dhe të tjerë)

Tetëkëndësh (nga greqishtja okto - tetë dhe hedra - fytyrë) - shumëkëndësh i rregullt i përbërë nga 8 trekëndësha barabrinjës.

Një kristal i vetëm i kuarcit të aluminit të kaliumit ka një formë tetëkëndësh, formula e së cilës është K (AL (SO 4) 2) * 12 H 2 O ... Ato përdoren për gdhendjen e pëlhurave, veshjen e lëkurës.

Një nga gjendjet e molekulës së karbonit polimer, së bashku me grafitin, është diamanti.Diamantet zakonisht kanë një tetëkëndësh si formë të prerë.

Diamant (nga greqishtja adamas - i pathyeshëm) - një kristal i pangjyrë ose me ngjyrë me një shkëlqim të fortë në formën e një oktaedri.

Kristalet e diamantit janë molekula gjigante polimeri dhe zakonisht kanë formën e një tetëedri, rombododekaedri, më rrallë një kub ose katërkëndësh.

Dodekahedron (nga greqishtja dodeka - dymbëdhjetë dhe hedra - fytyrë) është një shumëfaqësh i rregullt i përbërë nga dymbëdhjetë pesëkëndësha barabrinjës. Dodekaedri ka 20 kulme dhe 30 skaje

Virusi i poliomielititka formën e një dodekaedri. Mund të jetojë dhe të riprodhohet vetëm në qelizat e njeriut dhe primatëve.

Në nivelin mikroskopik, dodekaedri dhe ikozaedri janë parametra relativë të ADN-së. Ju gjithashtu mund të shihni se molekula e ADN-së është një kub rrotullues. Kur kubi rrotullohet në mënyrë sekuenciale me 72 gradë sipas një modeli të caktuar, fitohet një ikozaedron, i cili, nga ana tjetër, është një çift i një dodekaedri. Kështu, vargu i dyfishtë i spirales së ADN-së ndërtohet sipas parimit të korrespodencës dykahëshe: dodekaedri ndjek ikozaedrin, pastaj ikozaedroni përsëri, e kështu me radhë. Ky rrotullim përmes kubit krijon një molekulë të ADN-së.

Në librin e Dan Winter-it Heartmath, tregohet se molekula e ADN-së përbëhet nga marrëdhënia e dualitetit të dodekaedroneve dhe ikozaedroneve.

Ikozaedri - shumëkëndësh i rregullt konveks i përbërë nga 20 trekëndësha të rregullt. Ikozaedroni ka 30 skaje.

Në një nga dialogët e tij, Platoni lidhi poliedrat e rregullta me elementët e 4-të. Tetraedri ishte zjarri, kubi ishte dheu, oktaedri ishte ajri dhe ikozaedri ishte uji. Elementi i pestë, eteri, korrespondonte me dodekaedrin.

Ka pafundësisht shumë shumëkëndësha të rregullt: për secilin n => 3 ka një të saktë n - katror (dhe vetëm një, deri në ngjashmëri). Ka vetëm pesë poliedra të rregullta.

Ndoshta vetia më e rëndësishme e poliedrave konvekse u zbulua nga Rene Descartes rreth vitit 1620. E njëjta formulë u rizbulua nga Leonard Euler kur ai u angazhua në përshkrimin e llojeve të poliedrave konveks në varësi të numrit të kulmeve të tyre.

Le të jetë B numri i kulmeve të një shumëkëndëshi konveks, P numri i skajeve të tij dhe Γ numri i faqeve. Atëherë barazia B-P + G = 2 është e vërtetë.

atë numri quhet karakteristikë e Euler-it të shumëfaqëshit.

Por historia e poliedrës nuk u ndal në pesë trupa të rregullt. Pas trupave të rregullt të Platonit, u zbuluan trupat gjysmë të rregullt të Arkimedit.

Trupat e ngurtë të Arkimedit quhen poliedra konvekse gjysmë të rregullta, homogjene, domethënë shumëfaqëshe konvekse, të gjitha këndet poliedrike të të cilave janë të barabarta, dhe faqet janë poliedra të rregullta të disa llojeve (kështu ndryshojnë nga trupat e ngurtë platonikë, faqet e të cilave janë shumëkëndësha të rregullt të të njëjtit lloj). Zbulimi i trembëdhjetë poliedrave gjysmë të rregullt konveks i atribuohet Arkimedit. Johannes Kepler gjithashtu studioi teorinë e këtyre trupave.

Shembulli më i thjeshtë i një poliedri të Arkimedit është një prizëm Arkimede, domethënë një prizëm i rregullt n-gonal me faqe anësore katrore.

Një shembull tjetër është i ashtuquajturi antiprizmi arkimedian me kënd p. Mund të merret nëse një nga bazat e një prizmi të rregullt n-këndësh (n> 4) rrotullohet rreth boshtit të prizmit në një kënd - dhe më pas lidhet me segmente çdo kulm të kësaj baze me kulmet më të afërta të tjetrës. bazë; në këtë rast, lartësia e prizmit duhet të zgjidhet në mënyrë që këto segmente të jenë të barabarta me anën e bazës (me fjalë të tjera, faqet anësore të antiprizmit duhet të jenë trekëndësha të rregullt). Duke ndryshuar n, marrim dy seri të pafundme prizmash poliedrash dhe antiprizmash Arkimedean.

Shifrat më të thjeshta merren nga poliedrat e rregullt me ​​"prerje", e cila konsiston në prerjen e qosheve të poliedrit nga aeroplanët.

Nëse presim qoshet e një katërkëndëshi me plane, secila prej të cilave pret një të tretën e skajeve të saj që dalin nga një kulm, atëherë marrim një katërkëndor të cunguar me tetë fytyra. Prej tyre, katër janë gjashtëkëndësha të rregullt dhe katër janë trekëndësha të rregullt. Tre fytyra konvergojnë në çdo kulm të këtij poliedri.

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që sipërfaqja e një topi futbolli është bërë në formën e sipërfaqes së një ikozaedri të cunguar

Mënyra e dytë për të marrë poliedra gjysmë të rregullt është prerja e pjesëve të kubit me anë të një rrafshi që kalon nga mesi i skajeve të tij duke dalë nga një kulm. Si rezultat, marrim një shumëfaqësh gjysmë të rregullt të quajtur kuboktedron. Fytyrat e tij janë gjashtë katrorë, si një kub, dhe tetë trekëndësha të rregullt, si një tetëkëndësh.

Mënyra e tretë është kombinimi i metodës së parë dhe të dytë. Vizatoni rrafshet e prerjes nëpër mes pikave të skajeve që dalin nga një kulm dhe operacioni "prerje".

Çuditërisht, në pjesën e dytë Xx v. u zbulua një trup tjetër i Arkimedit - një pseudorhombokubooktaedron, i cili nuk mund të merret nga i njëjti lloj i prerjes së trupit të Platonit dhe për këtë arsye mbeti i pavënë re për 2000 vjet.

Në fund të viteve 50 - fillim të viteve 60 të shekullit XX, disa matematikanë pothuajse njëkohësisht, të pavarur nga njëri-tjetri, vunë në dukje ekzistencën e një pseudorhombokuboktahedron. Pseudorhombicuboktaedron përbëhet nga faqet e një kubi dhe një tetëedri, të cilave u shtohen edhe 12 katrorë të tjerë.

Hipoteza kozmologjike e astronomit gjerman Johannes Kepler është mjaft origjinale, në të cilën ai lidhi disa veti të sistemit diellor me vetitë e poliedrave të rregullt. Kepler sugjeroi që distancat midis gjashtë planetëve të njohur atëherë shprehen në termat e madhësive të pesë shumëkëndëshave të rregullt konveks. Midis çdo çifti "sferash qiellore" përgjatë të cilave, sipas kësaj hipoteze, rrotullohen planetët, Kepleri ka gdhendur një nga trupat e ngurtë platonike. Një oktaedron është përshkruar rreth sferës së Mërkurit, planetit më afër Diellit. Ky oktaedron është i gdhendur në sferën e Venusit, rreth së cilës përshkruhet ikozaedri. Sfera e Tokës përshkruhet rreth ikozaedrit, dhe rreth kësaj sfere është dodekaedri.

Dodekaedri është i gdhendur në sferën e Marsit, rreth së cilës përshkruhet tetrahedroni. Rreth tetraedrit përshkruhet sfera e Jupiterit, e gdhendur në një kub. Së fundi, sfera e Saturnit përshkruhet rreth kubit.Ky model dukej mjaft i besueshëm për kohën e tij. Për momentin, kjo teori është hedhur poshtë plotësisht.

Dodekaedri i madh yjor i përket familjes së trupave Kepler-Poinsot, domethënë poliedronëve të rregullt jo konveks. Fytyrat e dodekaedrit të madh yjor janë pentagramë, si në dodekaedrin e vogël yjor. Çdo kulm ka tre fytyra të lidhura. Kulmet e dodekaedrit të madh yjor përputhen me kulmet e dodekaedrit të përshkruar. Dodekaedri i madh yjor u përshkrua për herë të parë nga Kepleri në 1619.

Kepleri nuk mendonte se shifra që mori kishte dyfish. Polyedri, i cili quhet "dodekaedri i madh", u ndërtua nga gjeometri francez Louis Punchon dyqind vjet pas figurave në formë ylli keplerian.

Ikozaedron yjor... Ikozaedri ka njëzet fytyra. Nëse secila prej tyre vazhdon pafundësisht, atëherë trupi do të rrethohet nga një larmi e madhe ndarjesh - pjesë të hapësirës të kufizuara nga rrafshet e fytyrave. Të gjitha format e ikozaedrit yjor mund të merren duke shtuar ndarje të tilla në trupin origjinal. Përveç vetë ikozaedrit, zgjatimet e faqeve të tij ndahen nga hapësira me 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 ndarje me dhjetë. forma të ndryshme dhe madhësive. Ikozaedri i madh (shih fig) përbëhet nga të gjitha këto pjesë, me përjashtim të gjashtëdhjetë të fundit.

Ikosidodekaedri ka 32 faqe, nga të cilat 12 janë faqe të rregullta pesëkëndëshe, dhe 20 të tjerat janë trekëndësha të rregullt.

Polyedronët e rregullt gjatë gjithë historisë së njerëzimit nuk kanë reshtur kurrë së kënaquri mendjet kureshtare me simetrinë, mençurinë dhe përsosmërinë e formave të tyre.