Pristatymas apie įprastą daugiakampį. Taisyklingo oktaedro simetrijos elementai

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo parinkčių. Jei jus domina Šis darbas atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslai:

• supažindinti mokinius su taisyklingo daugiakampio samprata ir penkiais taisyklingųjų daugiakampių tipais,
• prisidėti prie naudojimo įgūdžių ugdymo Kompiuterinė technologija mokantis naujos medžiagos
• skatinti savarankiškos veiklos ugdymą, gebėjimą lyginti, apibendrinti.

Pamokos įranga:

• Multimedijos projektorius, ekranas, kompiuteriai
• Pristatymas „Įprasta daugiakampė“
• Įprasti daugiakampiai modeliai
• Kortelės - užduotys "Užduotys baigtiems brėžiniams" - 1 priedas
• Lentelė "Įprasta daugiakampė"
• Dalomoji medžiaga „Kryžiažodis“ – 2 priedas

UŽSIĖMIMŲ METU

1. Organizacinis momentas(5 minutės.)

Pamokos tikslas (temos komunikavimas, pamokos tikslas ir darbo tvarka)
Skyrius apie taisyklinguosius daugiakampius yra aprašomasis, viena pamoka skirta jos tyrinėjimui. Medžiaga apie įprastus daugiakampius iš esmės papildo ir logiškai užbaigia skyrių „Daugiakampiai“. Tiesą sakant, čia tęsiamas daugiakampių klasifikavimas; reguliarūs atrenkami iš išgaubtų daugiasluoksnių.

2. Naujos medžiagos mokymasis(15 minučių.)

Mokytojas turi organizuoti darbą taip, kad nauja „teisingo daugiakampio“ samprata susidarytų remiantis jau susiformavusiomis mokinių mintimis apie teisingos prizmės, piramidės ir taisyklingieji daugiakampiai.
Pranešama apie tik penkių rūšių taisyklingųjų daugiakampių egzistavimą be įrodymų. Šios teoremos įrodymas gali būti svarstomas atitinkamo pasirenkamojo kurso pamokose.

Pristatymas „Įprasta daugiakampė“

Pristatymas parengtas tema „Taisyklinga daugiakampė“ vidurinių mokyklų 10-11 klasių mokiniams ir profesinių mokyklų mokiniams. Medžiagoje pateikiama istorinė informacija apie taisyklinguosius daugiabriaunius, jų požymius, savybes. Pateikiami pavyzdžiai iš aplinkinio pasaulio, kur galima rasti daugiakampių. Pristatymas gali būti naudojamas geometrijos pamokose, pasirenkamuose kursuose, taip pat Papildoma veikla matematika.

Prezentacijos naudojimas pamokoje leidžia sutaupyti laiko, padaryti medžiagą įdomesnę, spalvingesnę ir neįprastesnę.

2, 3 skaidrės- Su teisingo daugiabriaunio apibrėžimu pristatomi ir savikontrolę atlieka apibrėžimo įsisavinimo mokiniai.
„Įprastų daugiakampių yra iššaukiamai mažai, - kadaise parašė L. Carroll, - tačiau šis labai kuklus būrys sugebėjo patekti į pačias įvairių mokslų gelmes.

4-9 skaidrės- Pranešama apie tik penkių tipų taisyklingųjų daugiakampių egzistavimą, o kiekvienam daugiakampiui pateikiamas jo piešinys, tūrinis vaizdas, paviršiaus raida ir pagrindinės savybės.
Nuo seniausių laikų daugiakampiai traukė žmonių dėmesį savo grožiu, tobulumu ir harmonija.

10 skaidrė– Istorinis fonas – informacija iš Platono istorijos ir taisyklingųjų daugiakampių.

11 skaidrė- Taisyklingo daugiakampio elementai, priklausomybė tarp elementų. Eilerio teorema.

15 skaidrė- Leonardas Eileris

Ypatingas susidomėjimas taisyklingosiomis daugiakampėmis siejamas su jų formų grožiu ir tobulumu. Gamtoje jie yra gana dažni.

12, 13 skaidrės- Taisyklingi daugiakampiai gamtoje, ypač kristalografijoje.

14 skaidrė- Išvada ir namų darbai
Ištyrus naują medžiagą, medžiagos asimiliacija tikrinama naudojant daugiakampių karkasinius ir plokštuminius modelius bei lentelę „Taisyklingi daugiakampiai“. Po to mokiniai pradeda spręsti uždavinius naudodami paruoštus brėžinius.

3. Problemų sprendimas(17 min.) – 1 priedas

№1. Raskite taisyklingo tetraedro, kurio kraštinė yra 10 cm, aukštį.

Duota: ABCD – taisyklingas tetraedras,
AB = 10 cm

Rasti: tetraedro aukštis

Sprendimas.

1) AF yra mediana ΔABC, taigi BF = ______

2) Iš ΔABF pagal teoremą _______ randame AF

AF 2 = AB 2 – BF 2

3) O atkarpą AF dalija santykiu 2:1, todėl AO = _____________________

4) Iš ΔADO pagal Pitagoro teoremą randame DO

DO 2 = ____________
DARYTI = ____________

Atsakymas: ______ cm

#2. Išspręskite problemą naudodami sprendimo planą

Kristalas yra oktaedro formos, susidedantis iš dviejų taisyklingų piramidžių, turinčių bendrą pagrindą, piramidės pagrindo kraštas 6 cm. Oktaedro aukštis 14 cm. Raskite kristalo šoninio paviršiaus plotą .

Sprendimas.

1) Šonas = 2 Spir = p ∙ SK (kur SK yra apotemas, p yra ABCD pusiau perimetras)

2) Raskite gerai _________________________

3) Raskite SO ____________________________
______________________________________

4) Raskite SK ____________________________
______________________________________

5) Apskaičiuokite S kraštinę _________________________
______________________________________

№3. Įrodykite, kad dviejų nelygiagrečių įstrižainių, esančių priešingų kubo paviršių, galai yra tetraedro viršūnės.

4. Papildoma užduotis.

Kryžiažodis (dirbkite poromis) 2 priedas
Atsižvelgdami į klasės ar mokinių grupės pasirengimo lygį, galite juos pasiūlyti papildoma užduotis kryžiažodžio forma. Jei klasė ar grupė turi žemus matematinius gebėjimus, kryžiažodis gali būti pasiūlytas išspręsti kitoje pamokoje kaip anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas.

5. Pamokos santrauka(5 minutės.)

Pamokos rezultatas numato diskusiją su mokiniais pamokos pabaigoje ne tik apie tai, kaip sekasi įgyvendinti užsibrėžtus tikslus, bet ir kas patiko (nepatiko) ir kodėl, kas jam buvo asmeniškai naudinga , ką norėtų pakartoti, ką pakeisti tolimesnio darbo metu.

6. Namų darbai (3 min.)

Padarykite taisyklingųjų daugiakampių (taisyklinio tetraedro, kubo, oktaedro) išlankstytus paviršius.
Atsakykite į klausimus Nr 30, 31 p. 243, Pogorelovas A. V. "Geometrija 10-11"
Spręskite uždavinius Nr.57 p.249, Nr.70 p.248

Namų darbai apima uždavinių sprendimą ir taisyklingų daugiakampių išlankstymą bei modeliavimą. Mokiniai patys pasirenka, kurį iš svarstomų daugiasluoksnių atliks (galite klasę ar grupę „suskirstyti“ į penkias grupes pagal taisyklingųjų daugiabriaunių tipų skaičių ir kiekvienai grupei galima pasiūlyti pagaminti tik vieną iš taisyklingųjų daugiabriaunių).

2 skaidrė

Įvadas. Istorijos nuoroda. Tetraedras. Kubas (šešiaedras). oktaedras. Dodekaedras. Ikozaedras. Išbandyk save. Šaltiniai.

3 skaidrė

Įvadas.

Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei jo paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai, turintys vienodą kraštinių skaičių ir tiek pat briaunų, susiliejančių kiekvienoje politopo viršūnėje. Yra penki taisyklingųjų išgaubtų daugiasluoksnių tipų tipai: tetraedras, kubas, oktaedras, dodekaedras, ikosaedras.

4 skaidrė

ISTORIJOS NUORODOS.

Visi šie daugiakampių tipai buvo žinomi m Senovės Graikija... Šiems gražiems kūnams skirta XIII knyga „Euklido pradžia“. Jie taip pat vadinami Platono kūnais. Jie iškilo jo idealistinėje pasaulėžiūroje. Keturi iš jų žymi keturias „esmes“ arba „elementus“: tetraedras yra ugnis, ikosaedras yra vanduo, kubas yra žemė, o oktaedras yra oras. Dodekaedras įkūnijo „viską, kas egzistuoja“, simbolizavo visą pasaulėžiūrą, buvo gerbiamas kaip svarbiausias.

5 skaidrė

TETRAEDRAS.

„Tetraedras“ pažodžiui išvertus iš graikų kalbos reiškia „tetraedras“. trys briaunos susilieja kiekvienoje viršūnėje. Tetraedras yra trikampė piramidė, kurios visos briaunos yra lygios.

6 skaidrė

ŠEŠIAEDRAS.

„Šešiaedras“ išvertus iš graikų kalbos reiškia „šešiakampis“. Visi kubo paviršiai yra kvadratai; trys briaunos susilieja kiekvienoje viršūnėje. Kubas yra stačiakampis gretasienis su vienodomis briaunomis.

7 skaidrė

OKTAEDRAS.

„Oktaedras“ išvertus iš graikų kalbos reiškia „oktaedras“. Veido oktaedras yra taisyklingi trikampiai, tačiau skirtingai nei tetraedras, kiekvienoje jo viršūnėje susilieja keturios briaunos.

8 skaidrė

DODEKAEDRAS.

„Dodekaedras“ išvertus iš graikų kalbos reiškia „dodekaedras“. Dodekaedro veidai yra taisyklingi penkiakampiai. Trys briaunos susilieja kiekvienoje viršūnėje.

9 skaidrė

ICOSAEDR.

„Icosahedron“ išvertus iš graikų kalbos reiškia „dvidešimties eedrų“. Ikozaedro paviršiai yra taisyklingi trikampiai, tačiau skirtingai nei tetraedras ir oktaedras, kiekvienoje viršūnėje susilieja penkios briaunos.

1 skaidrė

2 skaidrė

3 skaidrė

4 skaidrė

5 skaidrė

6 skaidrė

7 skaidrė

8 skaidrė

9 skaidrė

10 skaidrė

11 skaidrė

Apibrėžimas Išgaubtasis politopas vadinamas
teisinga, jei visi jo aspektai yra
lygūs taisyklingi daugiakampiai ir in
kiekviena jo viršūnė susilieja viena ir ta pati
tiek pat šonkaulių. Teisingai
yra tik penki daugiakampiai: tetraedras,
šešiaedras, oktaedras, dodekaedras, ikosaedras.

Įprastų daugiakampių pavyzdžiai:

Įprastų daugiakampių pavyzdžiai:

Charakteristikos ir formulės:

Taisyklingo oktaedro simetrijos elementai:

Taisyklingo ikosaedro simetrijos elementai:

Simetriniai kubo elementai:

Taisyklingo dodekaedro simetrijos elementai:

Visa informacija paimta iš:

Taisyklingas ir pusiau taisyklingas daugiabriaunis

Savo veikloje žmogus visur susiduria su poreikiu ištirti erdvinių figūrų formą, dydį, tarpusavio išdėstymą. Svarbią kūnų klasę sudaro daugiakampiai – kūnai, kurių riba susideda iš daugiakampių. Didžiuliame daugiakampių formų vandenyne savo tobulumu išsiskiria penki taisyklingi daugiakampiai arba platoniškos kietosios medžiagos.

Daugiakampis - geometrinis kūnas, iš visų pusių apribotas plokščiais daugiakampiais, vadinamais veidais.

Veidų kraštinės vadinamos daugiakampio kraštinėmis, o briaunų galai – daugiakampio viršūnėmis. Pagal veidų skaičių išskiriami tetraedrai, penkiaedrai ir kt.

Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis visas yra vienoje kiekvieno jo paviršiaus plokštumos pusėje. Išgaubtas daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visi jo paviršiai yra taisyklingi vienodi daugiakampiai ir visi daugiakampiai kampai viršūnėse yra lygūs.

Tetraedras (iš graikų k tetra - keturi ir hedra - veidas) yra taisyklingas daugiakampis, sudarytas iš 4 lygiakraščių trikampių.

Baltojo fosforo kristalaisusidaro iš P4 molekulių, Tokia molekulė turi tetraedro formą. Pieno rūgšties veidrodiniai izomerai taip pat yra tetraedrai. Metano kristalinė gardelė turi tetraedro formą. Metanas dega bespalve liepsna. Su oru sudaro sprogius mišinius. Naudojamas kaip kuras.

Sfaleritas - cinko sulfidas (ZnS).Šio mineralo kristalai yra tetraedrų, rečiau - rombododekaedrų pavidalo.

Kiekviena iš 8 kubo viršūnių yra 3 kvadratų viršūnė.

Kubas turi 12 vienodo ilgio kraštų.

Simetrijos centraskubas yra jo įstrižainių susikirtimo taškas. Per simetrijos centrą eina 9 simetrijos ašys. Kubo simetrijos ašis gali eiti arba per lygiagrečių briaunų, nepriklausančių vienam paviršiui, vidurio taškus arba per priešingų paviršių įstrižainių sankirtą.

kubas perduoda natrio chlorido NaCl kristalų formą.

Daugelio metalų kristalinės gardelės ( Li, Na, Cr, Pb, Al, Au ir kt.)

Oktaedras (iš graikų okto - aštuoni ir hedra - briauna) - taisyklingas daugiakampis, sudarytas iš 8 lygiakraščių trikampių.

Vienas kalio aliuminio oksido kvarco kristalas yra oktaedro formos, kurio formulė yra K (AL (SO 4) 2) * 12 H 2 O ... Jie naudojami audiniams ėsdinti, odoms aprengti.

Viena iš polimero anglies molekulės būsenų, kartu su grafitu, yra deimantas.Deimantai dažniausiai turi oktaedrą kaip pjūvio formą.

Deimantas (iš graikų k adamas - nesunaikinamas) - bespalvis arba spalvotas kristalas, turintis stiprų blizgesį oktaedro pavidalu.

Deimantiniai kristalai yra milžiniškos polimero molekulės ir dažniausiai turi oktaedro, rombinio dodekaedro, rečiau kubo ar tetraedro formą.

Dodekaedras (iš graikų kalbos dodeka - dvylika ir hedra - veidas) yra taisyklingas daugiakampis, sudarytas iš dvylikos lygiakraščių penkiakampių. Dodekaedras turi 20 viršūnių ir 30 briaunų

Poliomielito virusasturi dodekaedro formą. Jis gali gyventi ir daugintis tik žmogaus ir primatų ląstelėse.

Mikroskopiniu lygiu dodekaedras ir ikosaedras yra santykiniai DNR parametrai. Taip pat galite pamatyti, kad DNR molekulė yra besisukantis kubas. Kai pagal tam tikrą modelį kubas nuosekliai pasukamas 72 laipsnių kampu, gaunamas ikosaedras, kuris savo ruožtu yra dodekaedro pora. Taigi, dviguba DNR spiralės grandinė yra sudaryta pagal dvipusio atitikimo principą: dodekaedras seka ikosaedrą, tada vėl ikosaedras ir pan. Šis sukimasis per kubą sukuria DNR molekulę.

Dano Winterio knygoje „Heartmath“ parodyta, kad DNR molekulė susideda iš dodekaedrų ir ikosaedrų dvilypumo ryšio.

Ikozaedras - taisyklingas išgaubtas daugiakampis, sudarytas iš 20 taisyklingų trikampių. Ikozaedras turi 30 briaunų.

Viename iš savo dialogų Platonas sujungė taisyklingus daugiakampius su 4-aisiais elementais. Tetraedras buvo ugnis, kubas buvo žemė, oktaedras buvo oras, o ikosaedras buvo vanduo. Penktasis elementas – eteris – atitiko dodekaedrą.

Taisyklingų daugiakampių yra be galo daug: kiekvienam n => 3 yra teisingas n - kvadratas (ir tik vienas, iki panašumo). Yra tik penki taisyklingi daugiakampiai.

Bene svarbiausią išgaubto daugiabriaunio savybę apie 1620 metus atrado Renė Dekartas. tą pačią formulę iš naujo atrado Leonardas Euleris, užsiimdamas išgaubtų daugiakampių tipų aprašymu, priklausomai nuo jų viršūnių skaičiaus.

Tegu B yra išgaubto daugiakampio viršūnių skaičius, P – jo briaunų skaičius, o Γ – paviršių skaičius. Tada lygybė B-P + G = 2 yra teisinga.

Tai skaičius vadinamas daugiabriaunio Eulerio charakteristika.

Tačiau daugiakampių istorija nesibaigė ties penkiais taisyklingais kūnais. Po reguliarių Platono kūnų buvo atrasti pusiau taisyklingi Archimedo kūnai.

Archimedo kietieji kūnai vadinami pusiau taisyklingais, vienalyčiais išgaubtais daugiakampiais, tai yra išgaubtais daugiakampiais, kurių visi daugiakampiai kampai yra lygūs, o paviršiai yra kelių tipų taisyklingieji daugiakampiai (tuo jie skiriasi nuo platoniškų kūnų, kurių paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai to paties tipo). Trylikos pusiau taisyklingų išgaubtų daugiakampių atradimas priskiriamas Archimedui. Johannesas Kepleris taip pat studijavo šių kūnų teoriją.

Paprasčiausias Archimedo daugiakampio pavyzdys yra Archimedo prizmė, tai yra taisyklinga n kampinė prizmė su kvadratiniais šoniniais paviršiais.

Kitas pavyzdys yra vadinamoji p kampo Archimedo antiprizmė. Jį galima gauti, jei vieną iš taisyklingosios n kampo prizmės (n> 4) pagrindų pasukame apie prizmės ašį kampu ir po to segmentais sujungiame kiekvieną šio pagrindo viršūnę su artimiausiomis kitos viršūnėmis. bazė; šiuo atveju prizmės aukštis turi būti parinktas taip, kad šie segmentai būtų lygūs pagrindo kraštinei (kitaip tariant, antiprizmės šoniniai paviršiai turėtų būti taisyklingi trikampiai). Keičiant n, gauname dvi begalines Archimedo daugiakampių prizmių ir antiprizmių eilutes.

Paprasčiausios figūros gaunamos iš įprastų daugiakampių „sutrumpinimu“, kuris susideda iš daugiakampio kampų nupjovimo plokštumose.

Jei tetraedro kampus nupjauname plokštumomis, kurių kiekviena nupjauna trečdalį jo briaunų, kylančių iš vienos viršūnės, tai gausime nupjautą tetraedrą su aštuoniais paviršiais. Iš jų keturi yra taisyklingi šešiakampiai, o keturi – taisyklingi trikampiai. Trys veidai susilieja kiekvienoje šio daugiakampio viršūnėje.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad futbolo kamuolio paviršius pagamintas nupjauto ikosaedro paviršiaus pavidalu.

Antrasis būdas gauti pusiau taisyklingą daugiakampį yra nupjauti kubo dalis plokštuma, einančia per jo briaunų vidurio taškus, išeinančią iš vienos viršūnės. Dėl to gauname pusiau taisyklingą politopą, vadinamą kuboktaedru. Jo paviršiai yra šeši kvadratai, kaip kubas, ir aštuoni taisyklingi trikampiai, kaip oktaedras.

Trečias būdas – derinti pirmąjį ir antrąjį metodus. Nubrėžkite pjovimo plokštumas per briaunų, išeinančių iš vienos viršūnės, vidurio taškus ir atlikite operaciją „trumpinimas“.

Įdomu, kad antroje pusėje XX v. buvo aptiktas dar vienas Archimedo kūnas – pseudorhombokubooktaedras, kurio negalima gauti tokiu pačiu Platono kūno sutrumpinimo būdu ir todėl liko nepastebėtas 2000 metų.

50-ųjų pabaigoje – XX amžiaus 60-ųjų pradžioje keli matematikai beveik vienu metu, nepriklausomai vienas nuo kito, atkreipė dėmesį į pseudorhombokuboktaedro egzistavimą. Pseudorhombokuboktaedras susideda iš kubo ir oktaedro paviršių, prie kurių pridedama dar 12 kvadratų.

Gana originali yra vokiečių astronomo Johanneso Keplerio kosmologinė hipotezė, kurioje jis kai kurias Saulės sistemos savybes susiejo su taisyklingųjų daugiakampių savybėmis. Kepleris pasiūlė, kad atstumai tarp šešių tuomet žinomų planetų būtų išreikšti penkių taisyklingų išgaubtų daugiakampių dydžiais. Tarp kiekvienos „dangaus sferų“ poros, išilgai kurios, remiantis šia hipoteze, sukasi planetos, Kepleris įrašė vieną iš platoniškų kietųjų kūnų. Aplink Merkurijaus, arčiausiai Saulės esančios planetos, sferą aprašomas oktaedras. Šis oktaedras įrašytas į Veneros sferą, aplink kurią aprašomas ikosaedras. Žemės rutulys aprašomas aplink ikosaedrą, o dodekaedras – aplink šią sferą.

Dodekaedras įrašytas į Marso sferą, aplink kurią aprašomas tetraedras. Aplink tetraedrą aprašyta Jupiterio sfera, įrašyta į kubą. Galiausiai aplink kubą aprašoma Saturno sfera.Šis modelis savo laiku atrodė gana patikimas. Šiuo metu ši teorija buvo visiškai atmesta.

Didelis žvaigždžių dodekaedras priklauso Keplerio-Puanso kūnų šeimai, tai yra taisyklingiems neišgaubtiems daugiakampiams. Didelio žvaigždinio dodekaedro veidai yra pentagramos, kaip ir mažojo žvaigždinio dodekaedro. Kiekviena viršūnė turi tris sujungtus veidus. Didžiojo žvaigžduoto dodekaedro viršūnės sutampa su aprašyto dodekaedro viršūnėmis. Didelį žvaigždingą dodekaedrą pirmą kartą aprašė Kepleris 1619 m.

Kepleris nemanė, kad jo gauta figūra turi dvigubą. Daugiakampį, vadinamą „didžiuoju dodekaedru“, pastatė prancūzų geometras Louisas Punchonas, praėjus dviem šimtams metų po Keplerio žvaigždės formos figūrų.

Žvaigždėtas ikosaedras... Ikozaedras turi dvidešimt veidų. Jei kiekvienas iš jų bus tęsiamas neribotą laiką, tada kūną sups labai įvairūs skyriai – erdvės dalys, apribotos veidų plokštumomis. Visas žvaigždines ikosaedro formas galima gauti pridedant tokius skyrius prie pradinio kūno. Be paties ikosaedro, jo paviršių išplėtimai nuo erdvės yra atskirti 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 skyrių po dešimt skirtingos formos ir dydžiai. Didysis ikosaedras (žr. pav.) sudarytas iš visų šių gabalų, išskyrus paskutinius šešiasdešimt.

Ikozidodekaedras turi 32 paviršius, iš kurių 12 yra taisyklingos penkiakampės, o likę 20 yra taisyklingi trikampiai.

Įprasti daugiakampiai per visą žmonijos istoriją nenustojo džiuginti smalsių protų simetrija, išmintimi ir formų tobulumu.