Funzioni quadratiche e cubiche. Funzioni quadratiche e cubiche Disegna un grafico 4 x 2 Y
Sezioni: Matematica
Soggetto:"Tracciare una funzione quadrata contenente un modulo".
(Nell'esempio del grafico della funzione y \u003d x 2 - 6x + 3.)
Bersaglio.
- Esplora la posizione del grafico della funzione sul piano delle coordinate a seconda del modulo.
- Sviluppare abilità nel tracciare una funzione contenente un modulo.
Durante le lezioni.
1. La fase di aggiornamento delle conoscenze.
a) Controllo dei compiti.
Esempio 1 Costruisci un grafico della funzione y \u003d x 2 - 6x + 3. Trova gli zeri della funzione.
Decisione.
2. Coordinate del vertice della parabola: x= - b/2a = - (-6)/2=3, y(3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A(3; -6).
4. Zeri della funzione: y(x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 4 3 = 36 - 12 = 24, D> 0,
x 1,2 \u003d (6 ± ) / 2 \u003d 3 ± ; B(3 - ;0), C(3 + ;0).
Il grafico in Fig.1.
Algoritmo per tracciare un grafico di una funzione quadrata.
1. Determinare la direzione dei "rami" della parabola.
2. Calcolare le coordinate della parte superiore della parabola.
3. Annotare l'equazione dell'asse di simmetria.
4. Calcola più punti.
b) Si consideri la costruzione di grafici di funzioni lineari contenenti il modulo:
1. y = |x|. Il grafico della funzione in Figura 2.
2.y = |x| + 1. Grafico della funzione in Figura 3.
3. y = |x + 1|. Grafico della funzione in Figura 4.
Conclusione.
1. Grafico della funzione y = |x| + 1 si ottiene dal grafico della funzione y = |x| trasferimento parallelo al vettore (0;1).
2. Grafico della funzione y = |x + 1| ottenuto dal grafico della funzione y = |x| trasferimento parallelo al vettore (-1; 0).
2. Parte operativa ed esecutiva.
Fase lavoro di ricerca. Lavoro di gruppo.
Gruppo 1. Costruisci grafici di funzioni:
a) y \u003d x 2 - 6 | x | + 3,
b) y \u003d |x 2 - 6x + 3 |.
Decisione.
1. Costruisci un grafico della funzione y \u003d x 2 -6x + 3.
2. Visualizzalo simmetricamente rispetto all'asse Oy.
Grafico in Figura 5.
b) 1. Rappresentare graficamente la funzione y \u003d x 2 - 6x + 3.
2. Visualizzalo simmetricamente rispetto all'asse x.
Il grafico della funzione in Figura 6.
Conclusione.
1. Il grafico della funzione y \u003d f (|x |) è ottenuto dal grafico della funzione y \u003d f (x), mappando rispetto all'asse Oy.
2. Grafico della funzione y = |f(x)| è ottenuto dal grafico della funzione y \u003d f (x), mappando attorno all'asse Ox.
Gruppo 2. Costruisci grafici di funzioni:
a) y = |x 2 - 6|x| + 3|;
b) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.
Decisione.
1. Viene visualizzato il grafico della funzione y \u003d x 2 + 6x + 3 relativo all'asse Oy, otteniamo il grafico della funzione y \u003d x 2 - 6 | x | + 3.
2. Il grafico risultante viene visualizzato simmetricamente rispetto all'asse x.
Il grafico della funzione in Figura 7.
Conclusione.
Grafico della funzione y = |f (|x|)| è ottenuto dal grafico della funzione y \u003d f (x), da una visualizzazione sequenziale rispetto agli assi delle coordinate.
1. Viene visualizzato il grafico della funzione y \u003d x 2 - 6x + 3 relativo all'asse Ox.
2. Trasferisci il grafico risultante sul vettore (0;-3).
Il grafico della funzione in Figura 8.
Conclusione. Grafico della funzione y = |f(x)| + a si ottiene dal grafico della funzione y = |f(x)| trasferimento parallelo al vettore (0,a).
Gruppo 3. Grafico della funzione:
a) y = |x|(x - 6) + 3; b) y = x|x - 6| + 3.
Decisione.
a) y = |x| (x - 6) + 3, abbiamo un insieme di sistemi:
Costruiamo un grafico della funzione y \u003d -x 2 + 6x + 3 per x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.
Il grafico della funzione in Figura 9.
b) y \u003d x | x - 6 | + 3, abbiamo un insieme di sistemi:
Costruiamo un grafico della funzione y \u003d - x 2 + 6x + 3 per x 6.
2. Coordinate del vertice della parabola: x = - b/2a = 3, y(3) =1 2, A(3;12).
3. L'equazione dell'asse di simmetria: x = 3.
4. Diversi punti: y(2) = 11, y(1) = 3; y(-1) = - 4.
Costruiamo un grafico della funzione y \u003d x 2 - 6x + 3 per x \u003d 7 y (7) \u003d 10.
Grafico in Fig.10.
Conclusione. Quando si risolve questo gruppo di equazioni, è necessario considerare gli zeri dei moduli contenuti in ciascuna delle equazioni. Quindi costruire un grafico della funzione su ciascuno degli intervalli ottenuti.
(Quando si tracciano queste funzioni, ogni gruppo ha esaminato l'influenza del modulo sull'aspetto del grafico della funzione e ha tratto le conclusioni appropriate.)
Abbiamo una tabella riassuntiva per i grafici delle funzioni che contengono il modulo.
Tabella per il tracciamento di funzioni contenenti un modulo.
Gruppo 4
Traccia la funzione:
a) y \u003d x 2 - 5x + |x - 3 |;
b) y = |x 2 - 5x| + x - 3.
Decisione.
a) y \u003d x 2 - 5x + | x - 3 |, vai all'insieme di sistemi:
Costruiamo un grafico della funzione y \u003d x 2 -6x + 3 a x 3,
quindi il grafico della funzione y \u003d x 2 - 4x - 3 per x\u003e 3 nei punti y (4) \u003d -3, y (5) \u003d 2, y (6) \u003d 9.
Il grafico della funzione in Figura 11.
b) y \u003d |x 2 - 5x | + x - 3, passiamo all'insieme dei sistemi:
Costruiamo ogni grafico sull'intervallo corrispondente.
Il grafico della funzione in Figura 12.
Conclusione.
Abbiamo scoperto l'influenza del modulo in ogni termine sull'aspetto del grafico.
Lavoro indipendente.
Traccia la funzione:
a) y \u003d |x 2 - 5x + |x - 3 ||,
b) y= ||x 2 - 5x| + x - 3|.
Decisione.
I grafici precedenti sono visualizzati relativi all'asse Ox.
Gruppo.5
Costruisci un grafico della funzione: y = | x - 2| (|x| - 3) - 3.
Decisione.
Considera gli zeri di due moduli: x = 0, x - 2 = 0. Otteniamo intervalli di segno costante.
Abbiamo un insieme di sistemi di equazioni:
Costruiamo un grafico per ciascuno degli intervalli.
Grafico in Figura 15.
Conclusione. I due moduli nelle equazioni proposte complicano notevolmente la costruzione di un grafico generale costituito da tre grafici separati.
Gli studenti hanno registrato le esibizioni di ciascuno dei gruppi, hanno scritto le conclusioni e hanno partecipato a un lavoro indipendente.
3. Compiti a casa.
Costruisci grafici di funzioni con diverse posizioni dei moduli:
1. y \u003d x 2 + 4x + 2;
2. y \u003d - x 2 + 6x - 4.
4. Fase riflessiva - valutativa.
1. I voti della lezione sono composti da voti:
a) per lavorare in gruppo;
b) per lavoro autonomo.
2. Qual è stato il momento più interessante della lezione?
3. I compiti sono difficili?
Costruisci una funzione
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La funzione y=x^2 è chiamata funzione quadratica. Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. Forma generale la parabola è mostrata nella figura seguente.
funzione quadratica
Fig 1. Vista generale della parabola
Come si può vedere dal grafico, è simmetrico rispetto all'asse Oy. L'asse Oy è detto asse di simmetria della parabola. Ciò significa che se si traccia una linea retta parallela all'asse Ox sopra questo asse sul grafico. Quindi interseca la parabola in due punti. La distanza da questi punti all'asse y sarà la stessa.
L'asse di simmetria divide il grafico della parabola, per così dire, in due parti. Queste parti sono chiamate rami della parabola. E il punto della parabola che giace sull'asse di simmetria si chiama vertice della parabola. Cioè, l'asse di simmetria passa attraverso la parte superiore della parabola. Le coordinate di questo punto sono (0;0).
Proprietà di base di una funzione quadratica
1. Per x=0, y=0 e y>0 per x0
2. La funzione quadratica raggiunge il suo valore minimo al suo vertice. Ymin a x=0; Si noti inoltre che il valore massimo della funzione non esiste.
3. La funzione diminuisce sull'intervallo (-∞; 0] e aumenta sull'intervallo )
