Muntazam to'rtburchak prizmaning hajmi va sirt maydoni. Muntazam to'rtburchak prizma Yelimlash uchun prizma reamer

Ta'rif.

Bu olti burchakli bo'lib, uning asoslari ikkita teng kvadrat va yon yuzlari teng to'rtburchaklardir.

Yon qovurg'a ikkita qo'shni yon yuzning umumiy tomonidir

Prizma balandligi prizma asoslariga perpendikulyar bo'lgan segmentdir

Diagonal prizma- bir yuzga tegishli bo'lmagan asoslarning ikkita uchini bog'lovchi segment

Diagonal tekislik- prizma diagonali va uning yon qirralari orqali o'tadigan tekislik

Diagonal qism- prizma va diagonal tekislikning kesishish chegaralari. Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir

Perpendikulyar kesma (ortogonal kesma) prizma va uning lateral qirralariga perpendikulyar chizilgan tekislikning kesishishidir

Muntazam to'rtburchak prizmaning elementlari

Rasmda ikkita oddiy to'rtburchak prizma ko'rsatilgan, ular tegishli harflar bilan belgilanadi:

• ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 asoslari bir-biriga teng va parallel
• Yon yuzlar AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C va CC 1 D 1 D, ularning har biri to'rtburchak
• Yon sirt - prizmaning barcha yon yuzlari maydonlarining yig'indisi
• To'liq sirt - barcha asoslar va yon yuzalar maydonlarining yig'indisi (yon yuza va asoslar maydoni yig'indisi)
• Yon qovurg'alar AA 1, BB 1, CC 1 va DD 1.
• Diagonali B 1 D
• Asosiy diagonali BD
• Diagonal kesma BB 1 D 1 D
• Perpendikulyar kesma A 2 B 2 C 2 D 2.

Muntazam to'rtburchak prizmaning xossalari

• Asoslar ikkita teng kvadratdir
• Bazalar bir-biriga parallel
• Yon tomonlari to'rtburchaklardir
• Yon yuzlar bir-biriga teng
• Yon yuzlar asoslarga perpendikulyar
• Yon qovurg'alar parallel va tengdir
• Perpendikulyar kesim barcha yon qirralarga perpendikulyar va asoslarga parallel
• Perpendikulyar kesimning burchaklari tekis
• Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir
• Asoslarga parallel ravishda perpendikulyar (ortogonal kesma).

Muntazam to'rtburchak prizma uchun formulalar

Muammolarni hal qilish bo'yicha ko'rsatmalar

To'g'ri prizma- prizma, uning poydevorida muntazam ko'pburchak yotadigan, yon qirralari esa asos tekisliklariga perpendikulyar. Ya'ni, oddiy to'rtburchak prizma uning tagida joylashgan kvadrat... (muntazam to'rtburchak prizmaning yuqoridagi xususiyatlariga qarang) Eslatma... Bu geometriya masalalari bilan darsning bir qismi (kesim stereometriya - prizma). Bu erda hal qilishda qiyinchiliklarga olib keladigan vazifalar. Agar siz geometriyadan bu erda bo'lmagan masalani hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Muammo yechimlarida kvadrat ildizni ajratib olish harakatini belgilash uchun belgi√ .

Vazifa.

Muntazam prizmaning diagonali asos diagonali va prizma balandligi bilan toʻgʻri burchakli uchburchak hosil qiladi. Shunga ko'ra, Pifagor teoremasiga ko'ra, berilgan muntazam to'rtburchak prizmaning diagonali quyidagilarga teng bo'ladi:
√ ((12√2) 2 + 14 2) = 22 sm

Javob: 22 sm

Vazifa

Yechim.
Muntazam to'rtburchak prizmaning negizida kvadrat mavjud bo'lganligi sababli, biz Pifagor teoremasi bilan asosning tomonini (a sifatida belgilanadi) topamiz:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Yon yuzning balandligi (h bilan belgilanadi) keyin teng bo'ladi:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Umumiy sirt maydoni lateral yuzaning yig'indisiga va taglik maydonining ikki barobariga teng bo'ladi

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7 * 25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Javob: 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda so'rov qoldirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida xabar berish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim bildirishnomalar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash reklama tadbirida ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonunga, sud qaroriga muvofiq, sud muhokamasida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa ijtimoiy ahamiyatga ega sabablarga ko'ra zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxsga - huquqiy vorisga topshirishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va suiiste'mol qilish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qiling

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsiz ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik qoidalarini etkazamiz va maxfiylik choralarining bajarilishini qat'iy nazorat qilamiz.

Geometrik jism - prizmalar ko'pburchaklarga asoslanadi va har bir yon yuzi parallelogrammdir. Bilmaganlar biroz qo'rqib ketgan bo'lishi mumkin. Ammo agar farzandingizdan sinfga prizma bilan kelish so‘ralsa, siz tabiiy ravishda unga yordam berishni va qog‘ozdan prizma yasashni tushuntirishni xohlaysiz.

Keling, to'g'ri prizma yasashdan boshlaylik. Ushbu prizmada lateral qovurg'alar asoslarga perpendikulyar. O'z qo'llaringiz bilan qilish eng oson - bu uchta yuzli qog'oz prizma, chunki uning asoslari eng oddiy ko'pburchaklar - uchburchaklardir. Keling, "to'g'ri" prizma yasaymiz. Uning asoslari teng qirrali uchburchaklar bilan ifodalanadi.

Keling, qog'ozdan yasalgan uchburchak prizmamizning balandligi haqida o'ylab ko'raylik. Biz bir tomoni balandlikka, ikkinchisi esa poydevoridagi uchburchak perimetri uzunligiga teng bo'lgan to'rtburchak chizamiz. Olingan to'rtburchakni parallel to'g'ri chiziqlar bilan uchta teng qismga bo'ling. O'rtadagi to'rtburchakning burchaklaridan, radiusi bizning uchburchakning pastki qismiga teng bo'lgan kompas bilan doiralarni chizamiz. Doiralar asl to'rtburchakdan tashqarida kesishgan joylarda nuqtalarni qo'ying va ularni doiralarning markazlari bilan bog'lang. Biz rasmning o'rtasida ko'rsatilgan shaklni olishimiz kerak. Keyinchalik, biz rasmni yopishtirish uchun kichik ruxsatnomalar bilan kesib tashlaymiz, uni mavjud to'g'ri chiziqlar bo'ylab egamiz va tayyor prizmani olamiz.

To'rt yuzli qog'ozdan prizma yasash uchun qanday shablondan foydalanilganligi rasmdagi diagrammada aniq ko'rsatilgan.

Pentaedral prizma uchun blankaning namunasi rasmda ko'rsatilgan. Bu yerda piramidaning balandligi 10 sm, beshburchakning tagidagi tomonlarining uzunligi 3 sm.Olti burchakli prizma ham xuddi shunday qog'ozdan yasalishi mumkin, lekin uning tagida olti burchakli bo'ladi.

Ushbu rasmda qiya qog'oz prizmasi ko'rsatilgan. Uning yon tomonlari poydevorga burchak ostida joylashgan. Bunday prizma skanerlash namunasi yordamida amalga oshirilishi mumkin.

Stereometriya kursi bo'yicha maktab o'quv dasturida hajmli figuralarni o'rganish odatda oddiy geometrik jism - prizma ko'pburchakdan boshlanadi. Uning asoslari rolini parallel tekisliklarda yotgan 2 ta teng ko'pburchak bajaradi. Maxsus holat - bu muntazam to'rtburchak prizma. Uning asoslari 2 ta bir xil muntazam toʻrtburchaklar boʻlib, yon tomonlari ularga perpendikulyar boʻlib, parallelogrammalar (yoki prizma qiya boʻlmasa toʻrtburchaklar) koʻrinishida boʻladi.

Prizma qanday ko'rinishga ega

Muntazam to'rtburchak prizma olti burchakli deb ataladi, uning asoslarida 2 ta kvadrat mavjud va yon yuzlari to'rtburchaklar bilan ifodalanadi. Ushbu geometrik figuraning yana bir nomi to'g'ri parallelepipeddir.

Quyida to'rtburchak prizma ko'rsatilgan chizma ko'rsatilgan.

Rasmda ham ko'rsatilgan geometrik jismni tashkil etuvchi eng muhim elementlar... Ularga murojaat qilish odatiy holdir:

Ba'zan geometriyaga oid masalalarda kesim tushunchasini topish mumkin. Ta'rif shunday bo'ladi: kesma - bu kesuvchi tekislikka tegishli bo'lgan hajmli tananing barcha nuqtalari. Bo'lim perpendikulyar (u shaklning qirralarini 90 graduslik burchak ostida kesib o'tadi). To'rtburchaklar prizma uchun diagonal kesma ham ko'rib chiqiladi (qurilishi mumkin bo'lgan bo'limlarning maksimal soni 2 ta), poydevorning 2 chetidan va diagonallaridan o'tadi.

Agar kesma kesuvchi tekislik na asoslarga, na yon yuzlarga parallel bo'lmasligi uchun chizilgan bo'lsa, natijada kesilgan prizma hosil bo'ladi.

Kiritilgan prizmatik elementlarni topish uchun turli munosabatlar va formulalardan foydalaniladi. Ulardan ba'zilari planimetriya kursidan ma'lum (masalan, prizma asosining maydonini topish uchun kvadrat maydoni formulasini eslash kifoya).

Sirt maydoni va hajmi

Prizma hajmini formuladan foydalanib aniqlash uchun siz uning asosiy maydoni va balandligini bilishingiz kerak:

V = S asosiy h

Muntazam tetraedral prizma asosi tomoni bo'lgan kvadrat bo'lgani uchun a, formulani batafsil yozishingiz mumkin:

V = a² h

Agar biz kub haqida gapiradigan bo'lsak - uzunligi, kengligi va balandligi teng bo'lgan oddiy prizma, hajm quyidagicha hisoblanadi:

Prizmaning lateral yuzasi maydonini qanday topishni tushunish uchun siz uning ochilishini tasavvur qilishingiz kerak.

Chizma yon yuzasi 4 ta teng to'rtburchakdan iborat ekanligini ko'rsatadi. Uning maydoni poydevor perimetri va rasm balandligining mahsuloti sifatida hisoblanadi:

Yon tomoni = P asosiy h

Kvadratning perimetri ekanligini hisobga olgan holda P = 4a, formula quyidagi shaklni oladi:

Yon tomoni = 4a soat

Kub uchun:

Yon tomoni = 4a²

Prizmaning umumiy sirt maydonini hisoblash uchun lateral maydonga 2 ta asosiy maydonni qo'shing:

S to'liq = S tomoni + 2S asosiy

To'rtburchak muntazam prizmaga nisbatan formula quyidagicha:

S jami = 4a · h + 2a²

Kubning sirt maydoni uchun:

S jami = 6a²

Hajmi yoki sirt maydonini bilib, siz geometrik tananing alohida elementlarini hisoblashingiz mumkin.

Prizma elementlarini topish

Ko'pincha hajm berilgan yoki lateral sirt maydonining qiymati ma'lum bo'lgan muammolar mavjud, bu erda taglikning yon tomonining uzunligini yoki balandligini aniqlash kerak. Bunday hollarda formulalar olinishi mumkin:

• Asosiy tomon uzunligi: a = S tomoni / 4h = √ (V / h);
• balandlik yoki yon qovurg'aning uzunligi: h = Sside / 4a = V / a²;
• baza maydoni: Sosn = V / h;
• yon yuz maydoni: S tomoni. gr = S tomoni / 4.

Diagonal qismning qaysi sohasi borligini aniqlash uchun siz diagonalning uzunligini va raqamning balandligini bilishingiz kerak. Kvadrat uchun d = a√2. Shuning uchun:

Sdiag = ah√2

Prizma diagonalini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

dprize = √ (2a² + h²)

Yuqoridagi nisbatlarni qanday qo'llashni tushunish uchun siz bir nechta oddiy vazifalarni mashq qilishingiz va hal qilishingiz mumkin.

Yechimlari bilan vazifalarga misollar

Mana, matematikadan davlat yakuniy imtihonlarida topilgan ba'zi vazifalar.

1-mashq.

Qum oddiy to'rtburchak prizma shaklidagi qutiga quyiladi. Uning sathining balandligi 10 sm. Agar qumni bir xil shakldagi, lekin taglik uzunligi 2 baravar uzunroq idishga o'tkazsangiz, uning darajasi qanday bo'ladi?

Buni quyidagicha asoslash kerak. Birinchi va ikkinchi idishlardagi qum miqdori o'zgarmadi, ya'ni ulardagi hajmi mos keladi. Siz uchun taglikning uzunligini belgilashingiz mumkin a... Bunday holda, birinchi quti uchun moddaning hajmi quyidagicha bo'ladi:

V₁ = ha² = 10a²

Ikkinchi quti uchun taglik uzunligi 2a, lekin qum sathining balandligi noma'lum:

V₂ = h (2a) ² = 4ga²

Shu darajada V₁ = V₂, siz ifodalarni tenglashtirishingiz mumkin:

10a² = 4ga²

Tenglamaning ikkala tomonini a² ga bekor qilgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Natijada, yangi qum darajasi bo'ladi h = 10/4 = 2,5 sm.

Vazifa 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ to'g'ri prizma. Ma'lumki, BD = AB₁ = 6√2. Tananing umumiy sirt maydonini toping.

Qaysi elementlar ma'lum ekanligini tushunishni osonlashtirish uchun siz rasmni tasvirlashingiz mumkin.

Biz to'g'ri prizma haqida gapirayotganimiz sababli, asosda diagonali 6√2 bo'lgan kvadrat bor degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yon yuzning diagonali bir xil o'lchamga ega, shuning uchun yon yuz ham poydevorga teng kvadrat shakliga ega. Ma'lum bo'lishicha, barcha uch o'lcham - uzunlik, kenglik va balandlik tengdir. ABCDA₁B₁C₁D₁ kub degan xulosaga kelish mumkin.

Har qanday qirraning uzunligi ma'lum diagonal orqali aniqlanadi:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Umumiy sirt maydoni kub formulasi bilan topiladi:

Sful = 6a² = 6 6² = 216

Vazifa 3.

Xona ta'mirlanmoqda. Ma'lumki, uning qavati 9 m² maydonga ega bo'lgan kvadrat shaklida. Xonaning balandligi 2,5 m, agar 1 m² 50 rubl bo'lsa, xonani devor qog'ozi bilan qoplashning eng past narxi qancha?

Zamin va ship kvadratchalar, ya'ni muntazam to'rtburchaklar va uning devorlari gorizontal sirtlarga perpendikulyar bo'lganligi sababli, biz uni muntazam prizma deb xulosa qilishimiz mumkin. Uning lateral yuzasining maydonini aniqlash kerak.

Xonaning uzunligi a = √9 = 3 m.

Fon rasmi hududga yopishtiriladi Yon tomoni = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².

Bu xona uchun devor qog'ozi eng past narxi bo'ladi 50 30 = 1500 rubl.

Shunday qilib, to'rtburchaklar prizmadagi muammolarni hal qilish uchun kvadrat va to'rtburchakning maydoni va perimetrini, shuningdek, hajm va sirt maydonini topish uchun o'z formulalarini hisoblay olish kifoya.

Kubning maydonini qanday topish mumkin

Berilgan:
Piramida va prizmaning kesishishi
Kerakli:
To'g'ri prizmaning supurgisini quring va unga prizmaning piramida bilan kesishish chizig'ini ko'rsating..

To'g'ri prizmani qurish piramidani supurishdan ko'ra osonroqdir.

Prizma supurgi qurish

To'g'ridan-to'g'ri prizmaning supurishini qurish, supurish uchun barcha o'lchamlar diagrammalardan olinganligi va biz prizma qirralarining tabiiy qiymatlarini topishimiz shart emasligi bilan osonlashadi. To'g'ri prizma berilganligi sababli prizmaning lateral qirralari frontal proyeksiya tekisligiga to'liq hajmda proyeksiyalanadi. To'g'ri prizmaning asosiy qirralari gorizontal proyeksiya tekisligiga parallel bo'lib, unga to'liq hajmda ham proyeksiyalanadi.

Prizma supurgisini qurish algoritmi

• Biz gorizontal chiziq chizamiz.
• Bu to'g'ri chiziqning ixtiyoriy G nuqtasidan prizma asosi tomonlari uzunliklariga teng GU, UE, EK, KG segmentlarni yotqizamiz.
• G, U, ... nuqtalardan perpendikulyar tiklanadi va ularga prizma balandligiga teng qiymatlar yotqiziladi. Olingan nuqtalar to'g'ri chiziq bilan bog'langan. GG1G1G to'rtburchak prizmaning lateral yuzasini supurishdir. Prizma yuzlarining supurishini ko'rsatish uchun U, E, K nuqtalaridan perpendikulyarlar tiklanadi.
• Prizma yuzasini to'liq supurish uchun uning asoslarining ko'pburchaklari sirtni supurish bilan biriktiriladi.

Supurishda prizmaning 1, 2, 3 va 4, 5, 6, 7, 8 yopiq siniq chiziqlar piramidasi bilan kesishish chizig'ini qurish uchun biz vertikal to'g'ri chiziqlardan foydalanamiz.

AutoCAD-da tasviriy geometriya bo'yicha video darsida batafsilroq