Ishonch oralig'i - bu fizikni hisoblash uchun formuladir. Umumiy aholining matematik kutish uchun ishonch oralig'ini qurish. Ishonch oralig'i usuli
Yangilangan: 2020 yil 3 -mart
Misol faylIshning taqsimlanishining o'rtacha qiymatini baholash uchun MS EXCEL -da ishonch oralig'ini tuzaylik ma'lum ahamiyatga ega dispersiya.
Albatta tanlov ishonch darajasi butunlay hal qilinayotgan muammoga bog'liq. Shunday qilib, havo yo'lovchisining samolyot ishonchliligiga bo'lgan ishonch darajasi, shubhasiz, xaridorning lampochkaning ishonchliligiga bo'lgan ishonch darajasidan yuqori bo'lishi kerak.
Muammo bayonoti
Faraz qilaylik umumiy aholi olgan holda namuna hajmi n. Bu taxmin qilinadi standart og'ish bu taqsimot ma'lum. Buning asosida zarur namuna olish noma'lumni baholang o'rtacha taqsimot(m,) va mos keladiganini tuzing ikki tomonlamaishonch oralig'i .
Ballar bahosi
Ma'lumki, statistika(biz buni bildiramiz X chorshanba) - bu o'rtacha qiymatni xolis baholash bu umumiy aholi va N (m; p 2 / n) taqsimotga ega.
Eslatma : Agar qurish kerak bo'lsa, nima qilish kerak ishonch oralig'i bu taqsimotda emasnormalmi? Bunday holda, u etarli darajada katta hajmda ekanligini aytadigan qutqarish uchun keladi namuna olish n tarqatishdan bo'lmasliknormal , statistikaning namunaviy taqsimoti X av bo'ladi taxminan mos kelmoq normal taqsimlash parametrlari bilan N (m; p 2 / n).
Shunday qilib, nuqta bahosio'rtatarqatish qiymatlari bizda - bu namuna o'rtacha, ya'ni X chorshanba... Endi keling ishonch oralig'i.
Ishonch oralig'ini tuzish
Odatda, taqsimot va uning parametrlarini bilib, tasodifiy o'zgaruvchining biz ko'rsatgan intervaldan qiymat olish ehtimolini hisoblashimiz mumkin. Endi buning teskarisini qilaylik: tasodifiy o'zgaruvchi berilgan ehtimollik bilan tushadigan oraliqni toping. Masalan, mulklardan normal taqsimlash Ma'lumki, 95%ehtimollik bilan tasodifiy kattalik taqsimlanadi oddiy qonun, taxminan +/- 2 oralig'ida bo'ladi o'rtacha qiymat(haqidagi maqolaga qarang). Bu interval biz uchun prototip bo'lib xizmat qiladi ishonch oralig'i .
Keling, taqsimotni bilamizmi yoki yo'qligini aniqlaylik , bu intervalni hisoblash uchun? Savolga javob berish uchun taqsimot shakli va uning parametrlarini ko'rsatishimiz kerak.
Biz tarqatish shaklini bilamiz - bu shunday normal taqsimlash(biz gapirayotganimizni eslang namuna taqsimotistatistikaX chorshanba).
Biz m parametrini bilmaymiz (faqat uning yordamida hisoblash kerak ishonch oralig'i), lekin biz uning bahosiga egamiz X chorshanba, asosida hisoblangan namuna olish, qaysi ishlatilishi mumkin.
Ikkinchi parametr - bu o'rtacha o'rtacha namunaviy og'ishbiz buni ma'lum deb hisoblaymiz, u σ / √n ga teng.
Chunki biz m ni bilmaymiz, keyin +/- 2 oralig'ini quramiz standart og'ishlar dan emas o'rtacha qiymat va uning ma'lum bahosidan X chorshanba... Bular. hisoblashda ishonch oralig'i biz buni taxmin qilmaymiz X chorshanba+/- 2 ga to'g'ri keladi standart og'ishlar m dan 95%ehtimollik bilan va biz +/- 2 oralig'ini olamiz standart og'ishlar dan X chorshanba 95% ehtimollik bilan m ni qamrab oladi - umumiy aholining o'rtacha soni; undan olingan namuna... Bu ikkita bayonot tengdir, lekin ikkinchi bayonot bizga qurishga imkon beradi ishonch oralig'i .
Bundan tashqari, intervalni aniqlaymiz: taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi oddiy qonun, 95% ehtimollik bilan +/- 1.960 oralig'iga to'g'ri keladi standart og'ishlar, emas +/- 2 standart og'ishlar... Buni formula yordamida hisoblash mumkin = NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), sm. varaq oralig'i misolidagi fayl .
Endi biz shakllantirishga xizmat qiladigan ehtimollik bayonini tuzishimiz mumkin ishonch oralig'i: "Buning ehtimoli aholi o‘rtacha dan o'rtacha namuna 1960 yilda " namunadagi standart og'ishlar "degan ma'noni anglatadi 95% ga teng ".
Bayonotda ko'rsatilgan ehtimollik qiymati maxsus nomga ega bilan bog'liq a (alfa) muhimlik darajasi oddiy ibora bilan ishonch darajasi = 1 -α . Bizning holatda ahamiyatlilik darajasi α =1-0,95=0,05 .
Endi, bu taxminiy bayonotga asoslanib, biz hisoblash uchun ifodani yozamiz ishonch oralig'i :
bu erda Z a / 2 – standartnormal taqsimlash(tasodifiy o'zgaruvchining bunday qiymati z , nima P. (z >= Z a / 2 ) = a / 2).
Eslatma : Yuqori a / 2-kvantil kengligini aniqlaydi ishonch oralig'i v standart og'ishlarnamuna o'rtacha. Yuqori a / 2-kvantil standartnormal taqsimlash har doim 0 dan katta, bu juda qulay.
Bizning holatda, a = 0,05 da, yuqori a / 2-kvantil 1.960 ga teng. Boshqa muhimlik darajalari uchun a (10%; 1%) yuqori a / 2-kvantilZ a / 2 formula yordamida hisoblash mumkin = STANDART ST.OBR (1-a / 2) yoki ma'lum bo'lsa ishonch darajasi , = NORM.ST.OBR ((1 + ishonch darajasi) / 2) .
Odatda qurilish paytida O'rtacha taxmin qilish uchun ishonch intervallari faqat ishlatish yuqori a /2- kvantil va ishlatmang pastki a /2- kvantil... Bu mumkin, chunki standartnormal taqsimlash x o'qi atrofida nosimmetrik tarzda uning tarqalish zichligi ga nisbatan nosimmetrik o'rtacha, ya'ni 0) . Shuning uchun hisoblashning hojati yo'q pastki a / 2-kvantil(u shunchaki a deb nomlanadi / 2-kvantil), chunki u tengdir yuqori a /2- kvantil minus belgisi bilan.
Eslatib o'tamiz, x miqdorining taqsimlanish shakliga qaramay, mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchi X chorshanba tarqatilgan taxminanyaxshi N (m; p 2 / n) (maqolaga qarang). Shuning uchun, umumiy holatda, uchun yuqoridagi ifoda ishonch oralig'i faqat taxminiy. Agar x miqdori taqsimlangan bo'lsa oddiy qonun N (m; p 2 / n), keyin ifoda ishonch oralig'i aniq.
MS EXCEL -da ishonch oralig'ini hisoblash
Keling, muammoni hal qilaylik. Javob vaqti elektron komponent kirish signaliga qurilmaning muhim xususiyati hisoblanadi. Muhandis 95% ishonch darajasida o'rtacha javob vaqti uchun ishonch oralig'ini tuzmoqchi. Muhandis oldingi tajribadan biladiki, javob berish vaqtining standart og'ishi 8 ms. Ma'lumki, muhandis javob berish vaqtini baholash uchun 25 o'lchov o'tkazgan, o'rtacha qiymati 78 ms edi.
Yechim: Muhandis elektron qurilmaning javob vaqtini bilishni xohlaydi, lekin u tushunadi, javob vaqti sobit emas, balki o'z taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi. Shunday qilib, unga ishonishning eng yaxshisi - bu taqsimotning parametrlari va shaklini aniqlash.
Afsuski, muammo bayonotidan biz javob vaqtining taqsimlanish shaklini bilmaymiz (bunday bo'lishi shart emas) normal). , bu taqsimot ham noma'lum. Faqat u uchun tanilgan standart og'ishσ = 8. Shuning uchun, ehtimolliklarni hisoblab, qurishgacha ishonch oralig'i .
Biroq, biz tarqatishni bilmasligimizga qaramay vaqtalohida javob, biz buni bilamiz CPT , namuna taqsimotio'rtacha javob vaqti taxminan normal(shartlar deb taxmin qilamiz CPT chunki bajariladi hajmi namuna olish etarlicha katta (n = 25)) .
Bundan tashqari, o'rtacha bu taqsimot o'rtacha bitta javobning taqsimlanishi, ya'ni. m. A standart og'ish bu taqsimotning (σ / √n) = 8 / ROOT (25) formulasi bo'yicha hisoblanishi mumkin.
Shuningdek, muhandis olganligi ma'lum nuqta bahosi m parametr 78 msnga teng (X cf.). Shuning uchun, endi biz ehtimollikni hisoblashimiz mumkin Biz tarqatish shaklini bilamiz ( normal) va uning parametrlari (X cf va σ / √n).
Muhandis bilmoqchi kutilgan qiymat m javob vaqti taqsimoti. Yuqorida aytib o'tganimizdek, bu m ga teng o'rtacha javob vaqtining namunaviy taqsimlanishini matematik kutish... Agar biz ishlatsak normal taqsimlash N (X cf; σ / √n), keyin kerakli m taxminan 95%ehtimollik bilan +/- 2 * σ / √n oralig'ida bo'ladi.
Ahamiyat darajasi 1-0.95 = 0.05 ga teng.
Nihoyat, chap va o'ng chegarani toping ishonch oralig'i... Chap chegara: = 78-STANDART ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / Ildiz (25) = 74,864 O'ng chegara: = 78 + NORM.ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / Ildiz (25) = 81.136
Chap chegara: = NORM.OBR (0,05 / 2; 78; 8 / Ildiz (25)) O'ng chegara: = NORM.INV (1-0.05 / 2; 78; 8 / Ildiz (25))
Javob : ishonch oralig'i da ishonch darajasi 95% va σ =8 Xonim ga teng 78 +/- 3.136 milodiy.
V Sigma ish varag'idagi namuna fayli hisoblash va qurish shakli ma'lum ikki tomonlamaishonch oralig'i o'zboshimchalik uchun namunalar berilgan σ va ahamiyat darajasi .
CONFIDENCE.NORM () funktsiyasi
Agar qiymatlar bo'lsa namuna olish oralig'ida B20: B79 , a ahamiyatlilik darajasi 0,05 ga teng; keyin MS EXCEL formulasi: = O'rtacha (B20: B79) -TRUST.NORM (0.05, σ, COUNT (B20: B79)) chap chegarani qaytaradi ishonch oralig'i .
Xuddi shu chegarani quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: = O'RTA
Eslatma: CONFIDENCE.NORM () funktsiyasi MS EXCEL 2010 da paydo bo'ldi. MS EXCEL ning oldingi versiyalarida CONFIDENCE () funktsiyasi ishlatilgan.
Oldingi bo'limlarda biz noma'lum parametrni baholash masalasini ko'rib chiqdik a bitta raqam. Bu taxmin "nuqta" deb nomlanadi. Bir qator vazifalarda faqat parametrni topib bo'lmaydi a mos raqamli qiymat, lekin uning aniqligi va ishonchliligini baholaydi. Parametrni almashtirish qanday xatolarga olib kelishi mumkinligini bilmoqchisiz a uning taxminiy bahosi a va biz bu xatolar ma'lum chegaralar ichida qolishini qanday ishonch bilan kutishimiz mumkin?
Bu turdagi muammolar, nuqta baho berilganda, oz sonli kuzatuvlar uchun ayniqsa dolzarbdir va ichida katta darajada bu tasodifiydir va a ni taxminiy almashtirish jiddiy xatolarga olib kelishi mumkin.
Baholashning to'g'riligi va ishonchliligi haqida tushuncha berish a,
matematik statistikada ishonch intervallari va ishonch ehtimoli deb ataladi.
Parametr uchun ruxsat bering a tajribadan xolis baho a. Biz bu holatda mumkin bo'lgan xatoni baholamoqchimiz. Keling, p ehtimoli bo'lgan hodisani amalda ishonchli deb hisoblashimiz mumkin bo'lgan p (masalan, p = 0,9, 0,95 yoki 0,99) ehtimolliklarni belgilaymiz va ular uchun s qiymatini topamiz.
Keyin almashtirish paytida yuzaga keladigan xatoning amalda mumkin bo'lgan qiymatlari diapazoni a yoqilgan a, ± s bo'ladi; katta qiymatdagi xatolar faqat a = 1 - p kichik ehtimollik bilan paydo bo'ladi. Biz (14.3.1) ni qayta yozamiz:
Tenglik (14.3.2), ehtimollik p bilan parametrning noma'lum qiymatini bildiradi a oralig'iga kiradi
Shu bilan birga, bitta holatga e'tibor qaratish lozim. Ilgari, biz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan tasodifiy bo'lmagan intervalga tushish ehtimolini bir necha bor ko'rib chiqdik. Bu erda vaziyat boshqacha: miqdor a tasodifiy emas, lekin / p oralig'i tasodifiy. Tasodifan uning abssissa o'qidagi pozitsiyasi, uning markazi aniqlanadi a; 2s intervalining uzunligi ham umuman tasodifiydir, chunki s ning qiymati, qoida tariqasida, eksperimental ma'lumotlardan hisoblanadi. Shuning uchun, bu holda, p qiymatini nuqtaga "urilish" ehtimoli sifatida emas, balki talqin qilish yaxshiroq bo'lar edi. a/ p oralig'iga va tasodifiy interval / p nuqtani yopish ehtimoli sifatida a(14.3.1 -rasm).
Guruch. 14.3.1
Odatda, ehtimollik p deyiladi ishonch darajasi va / p oralig'i ishonch oralig'i. Interval chegaralari Agar. a x = a- s va a 2 = a + lekin chaqirdi ishonch chegaralari.
Ishonch oralig'i kontseptsiyasining yana bir talqinini beraylik: uni parametr qiymatlari oralig'i deb hisoblash mumkin a, eksperimental ma'lumotlarga mos keladi va ularga zid emas. Haqiqatan ham, agar biz a = 1-p ehtimoli bo'lgan hodisani amalda imkonsiz deb bilishga rozi bo'lsak, u holda a parametrining qiymatlari a - a> s, eksperimental ma'lumotlarga zid deb tan olinishi kerak va ular uchun | a - a a t na 2.
Parametr uchun ruxsat bering a xolis baho mavjud a. Agar biz miqdorning taqsimlanish qonunini bilgan bo'lsak a, ishonch oralig'ini topish muammosi juda oddiy bo'lar edi: s ning bunday qiymatini topish etarli bo'lardi
Qiyinchilik shundaki, smeta taqsimot qonunidir a miqdorning taqsimlanish qonuniga bog'liq X va shuning uchun uning noma'lum parametrlari bo'yicha (xususan, parametrning o'zi haqida) a)
Bu qiyinchilikni engib o'tish uchun quyidagi taxminiy taxminni qo'llash mumkin: s ifodasidagi noma'lum parametrlarni ularning nuqta baholari bilan almashtiring. Nisbatan katta miqdordagi tajribalar bilan NS(taxminan 20 ... 30) bu usul odatda aniqlik nuqtai nazaridan qoniqarli natijalar beradi.
Misol sifatida, matematik kutish uchun ishonch oralig'i muammosini ko'rib chiqing.
Ishlab chiqarilsin NS X, ularning xususiyatlari matematik kutishdir T va dispersiya D- noma'lum. Ushbu parametrlar uchun quyidagi taxminlar olingan:
Matematik kutish uchun ishonch ehtimoli p ga mos keladigan ishonchlilik oralig'ini tuzish talab qilinadi T kattaliklar X.
Bu muammoni hal qilayotganda, biz uning miqdoridan foydalanamiz T miqdorini ifodalaydi NS mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar X h va markaziy chegara teoremasiga ko'ra etarlicha katta NS uning taqsimot qonuni normaga yaqin. Amalda, nisbatan kichik sonli terminlar bilan ham (taxminan 10 ... 20) summaning taqsimlanish qonunini taxminan normal deb hisoblash mumkin. Miqdori haqiqatdan kelib chiqamiz T Oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Bu qonunning xususiyatlari - matematik kutish va dispersiya - mos ravishda T va
(13.3 -bobning 13.3 -bandiga qarang). Faraz qilaylik, miqdori D biz Ep qiymatini bilamiz va topamiz
6-bobda (6.3.5) formulasini qo'llagan holda, (14.3.5) ning chap tomonidagi ehtimolni normal taqsimlash funktsiyasi nuqtai nazaridan ifodalaymiz.
smetaning standart og'ishi qayerda T.
Tenglamadan
biz Sp qiymatini topamiz: 
bu erda arg F * (x) - F * ning teskari funktsiyasi (NS), o'sha. normal taqsimlash funktsiyasi teng bo'lgan argumentning bunday qiymati NS.
Tarqoqlik D, orqali qiymat ifodalanadi a 1P, biz aniq bilmaymiz; uning taxminiy qiymati sifatida siz smetadan foydalanishingiz mumkin D(14.3.4) va taxminan qo'ying:
Shunday qilib, ishonch oralig'ini qurish muammosi taxminan hal qilindi, bu teng:
bu erda gp (14.3.7) formula bilan aniqlanadi.
S * ni hisoblashda F * (l) funktsiyasining jadvallarida teskari interpolatsiyani oldini olish uchun, miqdor qiymatlarini beradigan maxsus jadvalni (14.3.1 -jadval) tuzish qulay.
p ga bog'liq. Miqdor (p odatdagi qonun uchun, tarqalish markazining o'ng va chap tomoniga qo'yilishi kerak bo'lgan standart og'ishlar sonini aniqlaydi, natijada maydonni urish ehtimoli p ga teng bo'ladi.
7 p qiymati orqali ishonch oralig'i quyidagicha ifodalanadi:
14.3.1 -jadval
Misol 1. Qiymat bo'yicha 20 ta tajriba o'tkazdi X; natijalar jadvalda ko'rsatilgan. 14.3.2.
14.3.2 -jadval
Miqdorni matematik kutish uchun smetani topish talab qilinadi X va p = 0,8 ishonch darajasiga mos keladigan ishonch oralig'ini yarating.
Yechim. Bizda ... bor:
L: = 10 kelib chiqishi sifatida tanlab, uchinchi formulaga muvofiq (14.2.14) biz xolis bahoni topamiz. D :
Jadvalga ko'ra. 14.3,1 toping 
Ishonch chegaralari:
Ishonch oralig'i:
Parametr qiymatlari T, Bu intervalda yotish jadvalda keltirilgan tajriba ma'lumotlariga mos keladi. 14.3.2.
Variant uchun ishonch oralig'i xuddi shunday tuzilishi mumkin.
Ishlab chiqarilsin NS tasodifiy kattalik bo'yicha mustaqil tajribalar X va A dan noma'lum parametrlar bilan va dispersiya uchun D xolis baho olinadi:
Taxminan dispersiya uchun ishonch oralig'ini tuzish kerak.
(14.3.11) formuladan ko'rinib turibdiki, miqdor D o'zida aks ettiradi
summa NS shaklning tasodifiy o'zgaruvchilari. Bu miqdorlar unday emas
mustaqil, chunki ularning har biri miqdorni o'z ichiga oladi T, boshqalarga bog'liq. Biroq, buni o'sish bilan ko'rsatish mumkin NS ularning yig'indisining taqsimot qonuni ham me'yorga yaqin. Amalda NS= 20 ... 30 ni allaqachon normal deb hisoblash mumkin.
Keling, bu shunday deb faraz qilaylik va ushbu qonunning xususiyatlarini topamiz: matematik kutish va dispersiya. Hisobdan beri D- xolis M [D] = D.
Dispersiyani hisoblash D D. nisbatan murakkab hisoblar bilan bog'liq, shuning uchun biz o'z ifodasini chiqmasdan beramiz:
bu erda q 4 - miqdorning to'rtinchi markaziy momenti X.
Ushbu iborani ishlatish uchun siz 4 va 4 qiymatlarini almashtirishingiz kerak D(kamida taxminiy). O'rniga D siz uning bahosidan foydalanishingiz mumkin D. Asosan, to'rtinchi markaziy momentni smeta bilan almashtirish mumkin, masalan, shaklning qiymati:
Ammo bunday almashtirish juda past aniqlikni beradi, chunki umuman cheklangan miqdordagi tajribalarda katta xatolar bilan yuqori tartibli momentlar aniqlanadi. Biroq, amalda, ko'pincha miqdorning taqsimot qonunining shakli bo'ladi X oldindan ma'lum: faqat uning parametrlari noma'lum. Keyin q 4 ni ifodalashga harakat qilishimiz mumkin D.
Keling, eng ko'p uchraydigan holatni olaylik X Oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyin uning to'rtinchi markaziy momenti dispersiya bilan ifodalanadi (6.2 -bobning 6.2 -bo'limiga qarang);
va (14.3.12) formula beradi 
yoki
Noma'lum (14.3.14) o'rniga D uning bahosi D, biz olamiz: qaerdan 
C 4 momentini ifodalash mumkin D boshqa ba'zi hollarda, miqdorni taqsimlashda X normal emas, lekin uning ko'rinishi ma'lum. Masalan, bir xil zichlik qonuni uchun (5 -bobga qarang) bizda: 
bu erda (a, P) - qonun o'rnatiladigan interval.
Demak,
(14.3.12) formulasi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz: 
taxminan qaerdan topamiz
26 -sonli taqsimot qonunining shakli noma'lum bo'lgan hollarda, a /) qiymatini taxminiy baholashda (14.3.16) formulasidan foydalanish tavsiya etiladi, agar bu qonun juda farq qiladi deb o'ylash uchun maxsus sabablar bo'lmasa. normal (sezilarli ijobiy yoki salbiy ortiqcha) ...
Agar a /) ning taxminiy qiymati u yoki bu usulda olingan bo'lsa, biz matematik kutish uchun tuzganimizdek dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurish mumkin:
bu erda berilgan p ehtimolligiga qarab qiymat jadvalga muvofiq topiladi. 14.3.1.
Misol 2. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi uchun taxminan 80% ishonch oralig'ini toping X 1 -misol shartlari bo'yicha, agar miqdori ma'lum bo'lsa X odatdagidek qonunga muvofiq taqsimlanadi.
Yechim. Qiymat jadvaldagi kabi qoladi. 14.3.1:
Formulaga muvofiq (14.3.16)
(14.3.18) formulasidan foydalanib, ishonch oralig'ini topamiz:
Standart og'ishning tegishli qiymatlari diapazoni: (0,21; 0,29).
14.4. Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining parametrlari uchun ishonch intervallarini tuzishning aniq usullari
Oldingi bo'limda biz taxminlar va farqlar uchun ishonch oralig'ini yaratishning taxminiy usullarini ko'rib chiqdik. Bu erda biz bir xil muammoni hal qilishning aniq usullari haqida tushuncha beramiz. Ishonch intervallarini aniq topish uchun miqdorning taqsimlanish qonunining shaklini oldindan bilish zarurligini ta'kidlaymiz. X, taxminiy usullarni qo'llash uchun bu shart emas.
Ishonch oralig'ini yaratishning aniq usullari g'oyasi quyidagicha. Har qanday ishonch oralig'i bizni qiziqtirgan bahoni o'z ichiga olgan ba'zi tengsizliklarning bajarilish ehtimolini ifodalovchi shartdan topiladi. a. Hisob -kitoblarni taqsimlash to'g'risidagi qonun a umumiy holatda miqdorning noma'lum parametrlariga bog'liq X. Biroq, ba'zida tasodifiy o'zgaruvchidan tengsizliklarni o'tkazish mumkin a kuzatilgan qiymatlarning boshqa funktsiyalari X n X 2, ..., X p. taqsimot qonuni noma'lum parametrlarga bog'liq emas, balki faqat tajribalar soniga va miqdor bo'yicha taqsimot qonunining shakliga bog'liq. X. Bunday tasodifiy o'zgaruvchilar matematik statistikada muhim rol o'ynaydi; ular miqdorning normal taqsimlanishi uchun batafsil o'rganilgan X.
Masalan, miqdorni normal taqsimlash uchun isbotlangan X tasodifiy qiymat
deb ataladigan narsaga bo'ysunadi Talabalarni tarqatish qonuni bilan NS- 1 daraja erkinlik; bu qonunning zichligi shaklga ega
bu erda G (x) - ma'lum gamma funktsiyasi:
Tasodifiy o'zgaruvchi ekanligi ham isbotlandi
bilan "tarqatish% 2" ga ega NS- 1 daraja erkinlik (7 -bobga qarang), uning zichligi formula bilan ifodalanadi
(14.4.2) va (14.4.4) taqsimotlarning hosilalari haqida to'xtalmasdan, biz parametrlar uchun ishonch oralig'ini tuzishda ularni qanday qo'llash mumkinligini ko'rsatamiz. t D.
Ishlab chiqarilsin NS tasodifiy kattalik bo'yicha mustaqil tajribalar X, noma'lum parametrlarga ega bo'lgan oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tio. Bu parametrlar uchun smetalar olingan
Ishonch ehtimoli p ga mos keladigan ikkala parametr uchun ham ishonch oralig'ini tuzish kerak.
Keling, matematik kutish uchun ishonch oralig'ini tuzaylik. Tabiiyki, bu intervalga nisbatan nosimmetrik qabul qilinadi T; s p bilan interval uzunligining yarmini belgilang. S p qiymati shartni shunday tanlanishi kerak
Keling, tenglikning chap tomonini (14.4.5) tasodifiy o'zgaruvchidan o'tkazishga harakat qilaylik T tasodifiy o'zgaruvchiga T, Talabalar qonuniga muvofiq taqsimlanadi. Buning uchun tengsizlikning ikkala tomonini ham ko'paytiramiz | m-w? |
ijobiy qiymat bo'yicha: 
yoki (14.4.1) belgisini ishlatib,
/ P sonini topamiz, shunda / p qiymati shartdan topiladi
(14.4.2) formuladan ko'rinib turibdiki, (1) juft funktsiya, shuning uchun (14.4.8) beradi 
Tenglik (14.4.9) p ga qarab / p qiymatini aniqlaydi. Agar sizning ixtiyoringizda integralning qiymatlari jadvali bo'lsa
keyin / p qiymatini jadvaldagi teskari interpolatsiya orqali topish mumkin. Lekin / p qiymatlar jadvalini oldindan tuzish qulayroqdir. Bunday jadval ilovada keltirilgan (5 -jadval). Bu jadvalda ishonchlilik ehtimoli p va erkinlik darajalari soniga bog'liq bo'lgan qiymatlar ko'rsatilgan NS- 1. Jadval bo'yicha / p ni aniqlab. 5 va taxmin qilish 
ishonch oralig'i / p va intervalning o'zi kengligining yarmini topamiz
Misol 1. Tasodifiy o'zgaruvchiga 5 ta mustaqil tajriba o'tkazdi X, odatda noma'lum parametrlar bilan taqsimlanadi T va haqida. Tajribalar natijalari jadvalda ko'rsatilgan. 14.4.1.
14.4.1 -jadval
Baho toping T matematik kutish uchun va uning uchun 90% ishonch oralig'i / p (ya'ni, ishonchlilik ehtimoli p = 0,9 ga mos keladigan interval) tuzing.
Yechim. Bizda ... bor:
Arizaning 5 -jadvaliga muvofiq NS - Biz topamiz 1 = 4 va p = 0,9 
qayerda 
Ishonch oralig'i bo'ladi
Misol 2. 14.3 -bo'limning 1 -misoli shartlari uchun, qiymatni qabul qilib X normal taqsimlangan, aniq ishonch oralig'ini toping.
Yechim. 5 -jadvalga ko'ra, biz arizalarni topamiz NS - 1 = 19 yil =
0,8 / p = 1,328; bu erdan 
14.3 -kichik bo'limning 1 -misolidagi echim bilan solishtirganda (e p = 0.072), biz tafovut juda ahamiyatsiz ekanligiga aminmiz. Agar biz aniqlikni ikkinchi o'nlik kasrgacha saqlasak, aniq va taxminiy usullar bilan topilgan ishonch intervallari bir -biriga to'g'ri keladi:
Keling, dispersiya uchun ishonch oralig'ini tuzishga o'taylik. Xolis dispersiya bahosini ko'rib chiqing
va tasodifiy o'zgaruvchini ifodalang D qiymati orqali V(14.4.3) x 2 taqsimotiga ega (14.4.4):
Miqdorning taqsimlanish qonunini bilish V,/ (1) oralig'ini topish mumkin, bunda u berilgan ehtimollik p ga to'g'ri keladi.
Tarqatish qonuni k n _ x (v) I 7 miqdori rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. 14.4.1.
Guruch. 14.4.1
Savol tug'iladi: / p oralig'ini qanday tanlash kerak? Agar miqdorning taqsimot qonuni V nosimmetrik edi (oddiy qonun yoki talabaning taqsimoti kabi), matematik kutish bo'yicha / p simmetrik oralig'ini olish tabiiy bo'lardi. Bunday holda, qonun k n _ x (v) assimetrik. Keling, miqdorni chiqarish ehtimoli / p oralig'ini tanlashga rozilik bildiraylik V o'ngdan chapga intervaldan tashqarida (14.4.1 -rasmdagi soyali joylar) bir xil va teng edi
Bunday xususiyatga ega bo'lgan interval / p ni yaratish uchun biz jadvaldan foydalanamiz. 4 ta ilova: unda raqamlar keltirilgan y) shu kabi
qiymati uchun V, erkinlik darajalari bilan x 2 -taqsimotga ega. Bizning holatda r = n- 1. Keling, tuzataylik r = n- 1 va jadvalning mos qatoridan toping. 4 ikkita ma'no x 2 - biri ehtimolga mos keladi, ikkinchisi - ehtimolliklar Keling, ularni belgilaymiz
ma'no 2 da va xl? Interval bor 2 da uning chap va y ~ o'ng oxiri.
Endi D, va chegaralaridagi dispersiya uchun kerakli ishonch oralig'ini / | topaylik D 2, nuqtani qamrab oladi D ehtimollik bilan p: 
Keling, nuqtani qamrab oladigan / (, = (?> B A) oralig'ini tuzaylik D agar va faqat miqdori bo'lsa V intervalgacha tushadi / p. Keling, intervalni ko'rsataylik
bu shartni qondiradi. Darhaqiqat, tengsizliklar 
tengsizlikka tengdir
va bu tengsizliklar p ehtimoli bilan qondiriladi. Shunday qilib, dispersiya uchun ishonch oralig'i topiladi va (14.4.13) formula bilan ifodalanadi.
Misol 3. 14.3 -bo'limning 2 -misoli shartlari bo'yicha, agar ma'lum bo'lsa, dispersiya uchun ishonch oralig'ini toping. X normal taqsimlanadi.
Yechim. Bizda ... bor 
... 4 -ilovaga muvofiq
da topamiz r = n - 1 = 19
(14.4.13) formuladan foydalanib, dispersiya uchun ishonch oralig'ini topamiz 
Standart og'ish uchun mos keladigan interval: (0,21; 0,32). Bu interval 14.3 -bo'limning 2 -misolida taxminiy usul bilan olingan intervaldan (0,21; 0,29) biroz oshib ketadi.
- 14.3.1 -rasmda a ga nosimmetrik bo'lgan ishonch oralig'i ko'rib chiqilgan. Umuman olganda, keyinroq ko'rib turganimizdek, bu kerak emas.
Ishonch oralig'i(CI; ingliz tilida, ishonch oralig'i - CI) namuna bilan o'tkazilgan tadqiqotda olingan barcha bemorlarning (umumiy aholi) populyatsiyasi to'g'risida xulosa chiqarish uchun tadqiqot natijalarining aniqligi (yoki noaniqligi) o'lchovini beradi. 95% CI ning to'g'ri ta'rifini quyidagicha shakllantirish mumkin: bunday intervallarning 95% populyatsiyadagi haqiqiy qiymatni o'z ichiga oladi. Bu talqin biroz aniqroq: CI - bu haqiqiy qiymatni o'z ichiga olganiga 95% ishonch hosil qilish mumkin bo'lgan qiymatlar diapazoni. CI -dan foydalanganda, statistik ahamiyatga ega bo'lish uchun testdan olingan P qiymatidan farqli o'laroq, ta'sirning miqdorini aniqlashga e'tibor qaratiladi. P qiymati hech qanday miqdorni o'lchamaydi, aksincha, "hech qanday ta'siri yo'q" gipotezasiga qarshi dalillarning kuchliligini o'lchaydi. P qiymati o'z -o'zidan bizga farqning kattaligi va hatto uning yo'nalishi haqida hech narsa aytmaydi. Shuning uchun, P ning mustaqil qiymatlari maqolalarda yoki tezislarda mutlaqo ma'lumot bermaydi. Bundan farqli o'laroq, CI davolanishning foydaliligi va dalillarning kuchliligi kabi darhol qiziqishning ta'sirini ko'rsatadi. Shuning uchun JI EBM amaliyoti bilan bevosita bog'liq.
Baholashga yondashuv statistik tahlil CI tomonidan tasvirlangan, qiziqish ta'sirini o'lchashga (diagnostik testning sezgirligi, bashorat qilingan holatlarning chastotasi, davolanishdagi nisbiy xavfni kamaytirish va h.k.), shuningdek, noaniqlikni o'lchashga qaratilgan. ta'sir Ko'pincha, CI - bu taxminning har ikki tomonidagi qiymatlar diapazoni, bunda haqiqiy qiymat bo'lishi mumkin va siz bunga 95% amin bo'lishingiz mumkin. O'zboshimchalik bilan 95% ehtimollikdan foydalanish to'g'risidagi bitim, shuningdek P qiymati<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».
CI boshqa bemor namunalarida o'tkazilgan xuddi shu tadqiqot bir xil natijalarga olib kelmaydi, lekin ularning natijalari haqiqiy, ammo noma'lum qiymat atrofida taqsimlanadi degan fikrga asoslanadi. Boshqacha qilib aytganda, CI buni "namunaga bog'liq o'zgaruvchanlik" deb ta'riflaydi. CI boshqa sabablarga ko'ra qo'shimcha noaniqlikni aks ettirmaydi; xususan, kuzatishda bemorning tanlab yo'qolishi, yomon muvofiqlik yoki natijani noto'g'ri o'lchash, ko'r -ko'rona etishmasligi va boshqalarning ta'sirini o'z ichiga olmaydi. CI har doim noaniqlikning umumiy miqdorini kam baholaydi.
Ishonch oralig'ini hisoblash
A1.1 -jadval. Ba'zi klinik o'lchovlar uchun standart xatolar va ishonch intervallari
Odatda, CI ikkita o'lchov orasidagi farq (d) va bu farqni baholashda standart xato (SE) kabi miqdoriy o'lchovning kuzatilgan bahosidan hisoblanadi. Taxminan 95% CI shu tarzda olingan d ± 1.96 SE. Formula natija o'lchovining tabiati va CI doirasiga qarab o'zgaradi. Misol uchun, hujayrali ko'k yo'talga qarshi vaktsinaning randomizatsiyalangan, platsebo nazorati ostida o'tkazilgan sinovida, vaktsinani qabul qilgan 1670 (4,3%) chaqaloqning 72 tasi ko'k yo'tal va 240 ta 1665 ta (14,4%) nazoratni rivojlantirgan. Mutlaq xavfni kamaytirish deb ataladigan foizlardagi farq 10,1%ni tashkil qiladi. Bu farqning SE darajasi 0,99%ni tashkil qiladi. Shunga ko'ra, 95% CI 10,1% + 1,96 x 0,99%, ya'ni. 8.2 dan 12.0 gacha.
Turli xil falsafiy yondashuvlarga qaramay, CI va statistik ahamiyatlilik testlari matematik jihatdan chambarchas bog'liq.
Shunday qilib, P qiymati "muhim"; R<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.
Hisoblashning noaniqligi (noaniqlik), CIda ifodalanadi, asosan, namuna kattaligining kvadrat ildiziga bog'liq. Kichik namunalar katta ma'lumotlarga qaraganda kamroq ma'lumot beradi va CI mos ravishda kichikroq namunada kengroq bo'ladi. Masalan, Helicobacter pylori infektsiyasini tashxislash uchun ishlatiladigan uchta testning xususiyatlarini taqqoslaydigan maqolada, karbamid bilan nafas olish testining 95,8% sezuvchanligi qayd etilgan (95% CI 75-100). 95,8% soni ta'sirchan ko'rinadigan bo'lsa -da, I. pylori bilan og'rigan 24 nafar kattalar bemorining kichik namunasi, bu CI tomonidan ko'rsatilgandek, bu bahoda sezilarli noaniqlik borligini bildiradi. Darhaqiqat, 75% ning pastki chegarasi 95,8% taxminidan ancha past. Agar xuddi shunday sezuvchanlik 240 kishilik namunada kuzatilgan bo'lsa, 95% CI 92,5-98,0 bo'ladi va bu testning yuqori sezuvchanligiga ko'proq kafolat beradi.
Tasodifiy boshqariladigan sinovlarda (RCT), muhim bo'lmagan natijalar (ya'ni, P> 0,05 bo'lganlar), ayniqsa, noto'g'ri talqin qilishga moyil. CI bu erda ayniqsa foydalidir, chunki u natijalarning klinik jihatdan foydali haqiqiy ta'sirga qanchalik mos kelishini ko'rsatadi. Masalan, tikuvni yo'g'on ichakka anastomoz bilan taqqoslaganda, bemorlarning 10,9% va 13,5% da yara infektsiyasi rivojlangan (P = 0,30). Bu farq uchun 95% CI 2,6% (-2 dan +8 gacha). Hatto 652 bemorni o'rganishda ham, bu ikki protsedura natijasida kelib chiqadigan infektsiyalarda oddiy farq borligi ehtimoli saqlanib qolmoqda. Tadqiqot qanchalik kam bo'lsa, noaniqlik shunchalik katta bo'ladi. Sung va boshqalar. 100 bemorda oktreotid infuzionini shoshilinch skleroterapiya bilan solishtirish uchun RCT o'tkazdi. Oktreotidlar guruhida qon ketishni to'xtatish darajasi 84%ni tashkil etdi; skleroterapiya guruhida - 90%, bu P = 0,56 ni beradi. E'tibor bering, davom etayotgan qon ketish tezligi yuqorida ko'rsatilgan tadqiqotda yara infektsiyasiga o'xshaydi. Biroq, bu holda, aralashuv farqi uchun 95% CI 6% (-7 dan +19) gacha. Bu diapazon 5% farq bilan taqqoslaganda ancha keng, bu klinik qiziqish uyg'otadi. Ko'rinib turibdiki, tadqiqot samaradorlikning sezilarli farqini istisno qilmaydi. Shuning uchun mualliflarning "oktreotidli infuziya va skleroterapiya varikoz tomirlaridan qon ketishini davolashda bir xil darajada samarali" degan xulosasi aniq emas. Bu kabi holatlarda, bu erda bo'lgani kabi, 95% CI mutlaq xavfni kamaytirish (ARR) nolni o'z ichiga olgan bo'lsa, davolash uchun zarur bo'lgan CI (NNT) ni talqin qilish juda qiyin. ... NPLP va uning CI ACP o'zaro ta'siridan kelib chiqadi (foiz sifatida berilgan bo'lsa 100 ga ko'paytiriladi). Bu erda biz BPHP = 100: 6 = 16,6 ni 95% CI -14,3 dan 5,3 gacha olamiz. Jadvaldagi "d" izohidan ko'rinib turibdiki. A1.1, bu CI BPHP qiymatlarini 5.3 dan cheksizgacha va BPHP qiymatlarini 14.3 dan cheksizgacha o'z ichiga oladi.
CIlar eng ko'p ishlatiladigan statistik baholar yoki taqqoslashlar uchun tuzilishi mumkin. RCT uchun u o'rtacha nisbatlar, nisbiy xavflar, koeffitsientlar nisbati va AES o'rtasidagi farqni o'z ichiga oladi. Xuddi shunday, diagnostika testlarining aniqligi - sezuvchanlik, o'ziga xoslik, ijobiy natijaning bashoratli qiymati (bularning barchasi oddiy nisbatlar) va ehtimollik koeffitsientlari - meta -tahlillarda va nazorat bilan solishtirish ishlari. Shaxsiy kompyuterlar uchun identifikatordan foydalanishni o'z ichiga olgan kompyuter dasturi "Ishonch bilan statistika" ning ikkinchi nashrida mavjud. CI nisbatlarini hisoblash uchun makroslar Excel va SPSS va Minitab statistik dasturlari uchun http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/tadqiqot/statistika/nisbatlar, htm uchun bepul mavjud.
Davolash ta'sirining bir nechta baholari
Boshlang'ich tadqiqot natijalari uchun CIlar kerakli bo'lsa -da, barcha natijalar uchun ular talab qilinmaydi. CI klinik jihatdan taqqoslash bilan shug'ullanadi. Masalan, ikkita guruhni solishtirganda, to'g'ri CI har bir guruhda baholash uchun tuzilishi mumkin bo'lgan CI emas, balki yuqoridagi misollarda ko'rsatilgandek, guruhlarni ajratish uchun tuzilgan. Har bir guruhdagi reytinglar uchun alohida CIlarni taqdim etish befoyda, balki bu tasavvur chalg'itishi mumkin. Xuddi shunday, turli guruhlarda davolanish samaradorligini taqqoslashda to'g'ri yondashuv ikkita (yoki undan ko'p) kichik guruhni to'g'ridan -to'g'ri taqqoslashdir. Davolash faqat bitta kichik guruhda samarali bo'ladi, deb hisoblash noto'g'ri, agar uning CI hech qanday ta'sirini istisno qilmasa va boshqalar ta'sir qilmasa. CIlar natijalarni bir nechta kichik guruhlar bo'yicha taqqoslashda ham foydalidir. Fig. A 1.1 magnezium sulfatning platsebo nazorati ostida bo'lgan ayollarning kichik guruhida preeklampsi bo'lgan ayollarda eklampsi xavfini ko'rsatadi.
Guruch. A1.2. O'rmon uchastkasi sigir rotavirusiga qarshi vaktsinaning platseboga qarshi diareyaning oldini olish uchun 11 tasodifiy klinik sinov natijalarini ko'rsatadi. Diareyaning nisbiy xavfini baholashda 95% ishonch oralig'i ishlatilgan. Qora kvadratning o'lchami ma'lumot hajmiga mutanosib. Bundan tashqari, davolanishning kumulyativ samaradorligi va 95% ishonch oralig'i (olmos bilan belgilanadi) ko'rsatiladi. Meta-tahlilda tasodifiy effektlar modeli ishlatilgan, ular oldindan tuzilganlardan oshadi; Masalan, bu namuna hajmini hisoblashda ishlatiladigan o'lcham bo'lishi mumkin. Qat'iyroq mezon uchun, butun CI diapazoni oldindan belgilangan minimaldan yuqori foyda ko'rsatishi kerak.
Biz allaqachon ikkita muolajaning bir xil samaradorligini ko'rsatuvchi statistik ahamiyatga ega bo'lmagan xatoni muhokama qildik. Statistik va klinik ahamiyatni tenglashtirmaslik ham muhimdir. Agar natija statistik jihatdan muhim bo'lsa va davolanish samaradorligini baholashning kattaligi aniqlansa, uning klinik ahamiyatini aniqlash mumkin.
Tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki, natijalar statistik jihatdan ahamiyatli, qaysi biri klinik ahamiyatga ega va qaysi biri muhim emas. Fig. A1.2 to'rtta test natijalarini ko'rsatadi, ular uchun butun CI<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.
Kutilayotgan qiymat uchun ishonch oralig'i - bu ma'lum bir ehtimollik bilan umumiy aholining matematik kutishlarini o'z ichiga olgan ma'lumotlar asosida hisoblangan interval. Matematik kutishning tabiiy bahosi - uning kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati. Shuning uchun, keyingi darsda biz "o'rtacha", "o'rtacha qiymat" atamalarini ishlatamiz. Ishonch oralig'ini hisoblash vazifalarida "O'rtacha [muayyan muammadagi qiymat] ishonch oralig'i [pastroqdan] yuqori qiymatgacha" tipidagi javob talab qilinadi. Ishonch oralig'i yordamida nafaqat o'rtacha qiymatlarni, balki umumiy populyatsiyaning ma'lum bir xususiyatining solishtirma og'irligini ham baholash mumkin. Darsda biz yangi ta'riflar va formulalarga keladigan o'rtacha qiymatlar, dispersiya, standart og'ish va xatolarni ajratamiz. Namuna va populyatsiyaning xususiyatlari .
O'rtacha nuqtali va intervalli taxminlar
Agar umumiy aholining o'rtacha qiymati raqam (nuqta) bilan baholanadigan bo'lsa, unda umumiy aholi noma'lum o'rtacha qiymatining bahosi kuzatuvlar namunasidan hisoblab chiqilgan o'ziga xos o'rtacha hisoblanadi. Bunday holda, tanlangan o'rtacha qiymat - tasodifiy o'zgaruvchi - umumiy aholining o'rtacha qiymatiga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, namunaning o'rtacha qiymatini ko'rsatganda, bir vaqtning o'zida namuna olish xatosini ko'rsatish kerak. Tanlov xatosi o'lchovi sifatida standart xato ishlatiladi, u o'rtacha bir xil birliklarda ifodalanadi. Shuning uchun ko'pincha quyidagi yozuv ishlatiladi:.
Agar o'rtacha qiymatni ma'lum bir ehtimollik bilan bog'lash talab qilinsa, unda umumiy aholi uchun qiziqish parametrini bitta raqam bilan emas, balki interval bilan baholash kerak. Ishonch oralig'i - ma'lum bir ehtimollik bilan P. umumiy aholining taxminiy indikatorining qiymati topiladi. Ishonch oralig'i, unda ehtimollik P. = 1 - α tasodifiy o'zgaruvchi topiladi, u quyidagicha hisoblanadi:
,
α = 1 - P., uni deyarli har qanday statistika kitobining ilovasida topish mumkin.
Amalda populyatsiyaning o'rtacha va o'zgaruvchanligi noma'lum, shuning uchun populyatsiyaning dispersiyasi tanlangan dispersiyaga, va populyatsiyaning o'rtacha qiymati - tanlangan o'rtacha qiymatga almashtiriladi. Shunday qilib, ko'p hollarda ishonch oralig'i quyidagicha hisoblanadi:
.
Ishonch oralig'i formulasi yordamida aholining o'rtacha qiymatini aniqlash mumkin
- umumiy aholining standart og'ishi ma'lum;
- yoki populyatsiyaning standart og'ishi ma'lum emas, lekin tanlov hajmi 30 dan katta.
O'rtacha namuna - bu aholi o'rtacha qiymatining xolis bahosi. O'z navbatida, namuna dispersiyasi 
aholi dispersiyasining xolis bahosi emas. Namunaviy dispersiya formulasida umumiy populyatsiyaning dispersiyasining xolis bahosini olish uchun, namuna hajmi n bilan almashtirilishi kerak n-1.
Misol 1. Shahardagi tasodifiy tanlangan 100 ta kafedan xodimlarning o'rtacha soni 10,5, standart og'ish 4,6 bo'lgan ma'lumot to'plandi. Kafe ishchilarining 95% ishonch oralig'ini aniqlang.
qayerda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .
Shunday qilib, kafe ishchilarining o'rtacha soni uchun 95% ishonch oralig'i 9,6 dan 11,4 gacha.
2 -misol. Umumiy 64 ta kuzatuvdan iborat tasodifiy namuna uchun quyidagi umumiy qiymatlar hisoblab chiqilgan:
kuzatuvlardagi qiymatlar yig'indisi,
qiymatlarning o'rtacha qiymatdan chetga chiqish kvadratlarining yig'indisi 
.
Kutish uchun 95% ishonch oralig'ini hisoblang.
Standart og'ishni hisoblang:
,
O'rtacha qiymatni hisoblang:
.
Ishonch oralig'i uchun qiymatlarni ifodaga o'rnating:
qayerda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .
Biz olamiz:
Shunday qilib, ushbu namunani matematik kutish uchun 95% ishonch oralig'i 7.484 dan 11.266 gacha bo'lgan.
Misol 3. Umumiy 100 ta kuzatuvdan iborat tasodifiy namuna uchun o'rtacha qiymat 15,2 va standart og'ish 3,2 ni tashkil etdi. Kutish uchun 95% ishonch oralig'ini, so'ngra 99% ishonch oralig'ini hisoblang. Agar namuna hajmi va uning o'zgarishi o'zgarishsiz qolsa, lekin ishonch koeffitsienti oshsa, ishonch oralig'i torayadimi yoki kengayadimi?
Ishonch oralig'i uchun bu qiymatlarni ifodaga almashtiring:
qayerda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .
Biz olamiz:
.
Shunday qilib, ushbu namunaning o'rtacha 95% ishonch oralig'i 14.57 dan 15.82 gacha.
Yana bir bor, biz bu qiymatlarni ishonch oralig'idagi ifodaga almashtiramiz:
qayerda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,01 .
Biz olamiz:
.
Shunday qilib, ushbu namunaning o'rtacha 99% ishonch oralig'i 14.37 dan 16.02 gacha bo'lgan.
Ko'rib turganingizdek, ishonch koeffitsientining oshishi bilan standart normal taqsimotning kritik qiymati ham oshadi va shuning uchun intervalning boshlanish va tugash nuqtalari o'rtacha va shuning uchun ishonch oralig'idan uzoqroqda joylashgan. matematik kutish kuchayadi.
Aniq tortishishning nuqtali va intervalli baholari
Namunaning ba'zi bir xususiyatlarining solishtirma og'irligini solishtirma og'irlikning balli bahosi sifatida talqin qilish mumkin p bir xil xususiyat umumiy aholi orasida. Agar bu qiymat ehtimollik bilan bog'liq bo'lishi kerak bo'lsa, unda o'ziga xos tortishishning ishonch oralig'ini hisoblash kerak p ehtimollik bilan umumiy populyatsiyada xarakter P. = 1 - α :
.
Misol 4. Bir shaharda ikkita nomzod bor A va B hokimlikka nomzod bo'lish. Shaharning 200 nafar aholisi tasodifiy so'rov o'tkazdi, ulardan 46% nomzodga ovoz beraman deb javob berishdi A, 26% - nomzod uchun B va 28% kimga ovoz berishlarini bilmaydilar. Nomzodni qo'llab -quvvatlaydigan shahar aholisining 95% ishonch oralig'ini aniqlang A.
Konstantin Krawchik tibbiy tadqiqotlarda ishonch oralig'i nima ekanligini va undan qanday foydalanishni aniq tushuntiradi.
Katren-Stil Konstantin Kravchikning tibbiy statistika haqidagi tsiklini nashr etishda davom etmoqda. Oldingi ikkita maqolada muallif va kabi tushunchalarni tushuntirish bilan shug'ullangan.
Konstantin Kravchik
Analitik matematik. Tibbiyot va gumanitar fanlar bo'yicha statistik tadqiqotlar bo'yicha mutaxassis
Moskva shahri
Ko'pincha klinik tadkikotlar haqidagi maqolalarda siz sirli iborani topishingiz mumkin: "ishonch oralig'i" (95% CI yoki 95% CI - ishonch oralig'i). Masalan, maqolada shunday deyilgan bo'lishi mumkin: "Farqlarning ahamiyatini baholash uchun 95% ishonch oralig'ini hisoblashda Student t-testi ishlatilgan".
"95% ishonch oralig'i" qiymati nima va nima uchun uni hisoblash kerak?
Ishonch oralig'i nima? - Bu haqiqiy o'rtacha ko'rsatkichlar populyatsiyasida. Va nima, "noto'g'ri" o'rtacha qiymatlar bormi? Bir ma'noda, ha, bor. Biz tushuntirdikki, qiziqish parametrini butun aholi uchun o'lchash mumkin emas, shuning uchun tadqiqotchilar cheklangan namunadan mamnun. Bu namunada (masalan, tana og'irligi bo'yicha) bitta o'rtacha qiymat (ma'lum bir vazn) mavjud bo'lib, unga ko'ra biz butun aholi sonining o'rtacha qiymatini baholaymiz. Biroq, namunadagi o'rtacha vazn (ayniqsa kichik) umumiy aholi sonining o'rtacha og'irligiga to'g'ri kelishi dargumon. Shuning uchun umumiy aholi o'rtacha qiymatlari diapazonini hisoblash va undan foydalanish to'g'ri bo'ladi.
Masalan, gemoglobin uchun 95% CI (95% CI) 110 dan 122 g / L gacha deb tasavvur qiling. Bu shuni anglatadiki, 95%ehtimollik bilan umumiy populyatsiyada haqiqiy o'rtacha gemoglobin qiymati 110 dan 122 g / l gacha bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, biz umumiy populyatsiyada o'rtacha gemoglobinni bilmaymiz, lekin 95% ehtimollik bilan bu belgining qiymatlar oralig'ini ko'rsatishimiz mumkin.
Ishonch oralig'i, ayniqsa, guruhlar orasidagi mablag'lar farqi yoki, deyilganidek, ta'sir kattaligi uchun to'g'ri keladi.
Aytaylik, biz ikkita temir preparatining samaradorligini taqqoslagan edik: biri bozorda uzoq vaqtdan beri bo'lgan va hozirgina ro'yxatdan o'tgan. Terapiya kursidan so'ng, o'rganilgan bemorlar guruhidagi gemoglobin kontsentratsiyasi baholandi va statistik dastur 95% ehtimollik bilan ikki guruhning o'rtacha qiymatlari orasidagi farq 1,72 dan 14,36 g gacha ekanligini aniqladi. / l (1 -jadval).
Yorliq. 1. Mustaqil namunalar uchun mezon
(gemoglobin darajasi bo'yicha guruhlar solishtiriladi)
Buni quyidagicha izohlash kerak: yangi dori -darmonlarni qabul qiladigan ba'zi bemorlarda gemoglobin o'rtacha ma'lum bo'lgan dorilarni qabul qilganlarga qaraganda o'rtacha 1,72-14,36 g / l ga yuqori bo'ladi.
Boshqacha qilib aytganda, umumiy populyatsiyada 95% ehtimollikdagi guruhlarda gemoglobin uchun o'rtacha qiymatlar farqi shu chegaralar ichida. Bu ko'pmi yoki ko'p emasligini tadqiqotchi hal qiladi. Bularning barchasi shundan iboratki, biz bitta o'rtacha qiymat bilan emas, balki qiymatlar diapazoni bilan ishlayapmiz, shuning uchun biz guruhlar orasidagi parametrlar farqini yanada ishonchli baholaymiz.
Statistik paketlarda, tadqiqotchining xohishiga ko'ra, ishonch oralig'ining chegaralarini mustaqil ravishda toraytirish yoki kengaytirish mumkin. Ishonch oralig'i ehtimolini kamaytirib, biz vositalar oralig'ini toraytiramiz. Masalan, 90% CIda, vositalar oralig'i (yoki vositalar farqi) 95% ga qaraganda torroq bo'ladi.
Aksincha, ehtimollikni 99% ga oshirish qiymatlar diapazonini kengaytiradi. Guruhlarni solishtirganda, CI ning pastki chegarasi nol belgisini kesib o'tishi mumkin. Masalan, agar biz ishonch oralig'ini 99%ga kengaytirsak, u holda intervalning chegaralari –1 dan 16 g / L gacha bo'lgan. Bu shuni anglatadiki, umumiy populyatsiyada o'rganilgan atribut bo'yicha 0 (M = 0) ga teng bo'lgan vositalar orasidagi farq bor.
Ishonch oralig'idan foydalanib, siz statistik gipotezalarni sinab ko'rishingiz mumkin. Agar ishonch oralig'i nol qiymatdan o'tib ketsa, u holda guruhlar o'rganilgan parametr bo'yicha farq qilmasligini taxmin qiladigan null gipoteza to'g'ri. Bir misol, biz chegaralarni 99%ga kengaytirganimizda tasvirlangan. Qaerdadir umumiy aholi orasida biz hech qanday farq qilmaydigan guruhlarni topdik.
Gemoglobin farqining 95% ishonch oralig'i, (g / l)
Rasmda chiziq ikki guruh o'rtasidagi gemoglobinning o'rtacha qiymatidagi farq uchun 95% ishonch oralig'ini ko'rsatadi. Chiziq nol belgisidan o'tadi, shuning uchun nolga teng vositalar o'rtasida farq bor, bu guruhlar farq qilmaydigan null gipotezani tasdiqlaydi. Guruhlar orasidagi farq diapazoni –2 dan 5 g / l gacha, demak, gemoglobin 2 g / l ga kamayishi yoki 5 g / l ga oshishi mumkin.
Ishonch oralig'i - bu juda muhim ko'rsatkich. Uning yordami bilan siz guruhlardagi farqlar haqiqatan ham vositalarning farqiga bog'liqmi yoki katta namunaga bog'liqmi, ko'rishingiz mumkin, chunki katta namunada farqni topish imkoniyati kichikiga qaraganda katta.
Amalda, bu shunday ko'rinishi mumkin. Biz 1000 kishidan namuna oldik, gemoglobin darajasini o'lchadik va vositadagi farq uchun ishonch oralig'i 1,2 dan 1,5 g / L gacha ekanligini aniqladik. Bu holda statistik ahamiyatlilik darajasi p
Biz gemoglobin kontsentratsiyasining oshganini ko'ramiz, lekin deyarli sezilmayapti, shuning uchun statistik ahamiyat aniq namuna kattaligi tufayli paydo bo'ldi.
Ishonch oralig'ini nafaqat o'rtacha qiymatlar, balki nisbatlar (va xavf nisbati) bo'yicha ham hisoblash mumkin. Masalan, biz ishlab chiqilgan dori -darmonlarni qabul qilganda remissiyaga erishgan bemorlar nisbatining ishonch oralig'i bilan qiziqamiz. Faraz qilaylik, 95% CI nisbati uchun, ya'ni bunday bemorlarning nisbati uchun 0,60–0,80 oralig'ida bo'ladi. Shunday qilib, aytish mumkinki, bizning dori 60-80% hollarda terapevtik ta'sir ko'rsatadi.
