Intervali i konfidencës është një formulë për llogaritjen e një fizikanti. Ndërtimi i intervalit të besimit për pritjet matematikore të popullatës së përgjithshme. Metoda e Intervalit të Konfidencës

Përditësuar së Fundmi: 3 Mars 2020

Le të ndërtojmë një interval besimi në MS EXCEL për të vlerësuar vlerën mesatare të shpërndarjes në rastin me rëndësi të njohur varianca

Sigurisht zgjedhja niveli i besimit varet plotësisht nga problemi që zgjidhet. Kështu, shkalla e besimit të pasagjerit ajror në besueshmërinë e avionit, pa dyshim, duhet të jetë më e lartë se shkalla e besimit të blerësit në besueshmërinë e llambës.

Deklarata e problemit

Supozoni se nga popullsia e përgjithshme duke marrë mostër madhësia n Supozohet se devijimi standard kjo shpërndarje është e njohur. Isshtë e nevojshme në bazë të kësaj marrja e mostrave vlerësoni të panjohurën shpërndarja mesatare(μ,) dhe ndërto përkatëse e dyanshmeintervali i besimit .

Vlerësimi i pikës

Siç dihet nga, statistikat(ne e shënojmë atë X Mart) eshte nje vlerësimi i paanshëm i mesatares kjo popullsia e përgjithshme dhe ka shpërndarjen N (μ; σ 2 / n).

shënim : Çfarë duhet të bëni nëse keni nevojë të ndërtoni intervali i besimit në rastin e një shpërndarjeje që nuk eshtenormale? Në këtë rast, bëhet fjalë për shpëtimin, i cili thotë se me një madhësi mjaft të madhe marrja e mostrave n nga shpërndarja duke mos qenënormale , mostra e shpërndarjes së statistikave X av do të përafërsisht korrespondojnë shpërndarje normale me parametrat N (μ; σ 2 / n).

Kështu që, vlerësim pikëmesvlerat e shpërndarjes kemi - këtë mesatarja e mostrës, d.m.th. X Mart... Tani le të zbresim në intervali i besimit.

Komplotimi i një Intervali Besimi

Zakonisht, duke ditur shpërndarjen dhe parametrat e saj, ne mund të llogarisim probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë nga intervali që kemi specifikuar. Tani le të bëjmë të kundërtën: gjejmë intervalin në të cilin variabli i rastësishëm do të bjerë me një probabilitet të caktuar. Për shembull, nga pronat shpërndarje normale dihet se me një probabilitet prej 95%, një ndryshore e rastësishme shpërndahet mbi ligj normal, do të bjerë brenda një intervali afërsisht +/- 2 nga vlera mesatare(shiko artikullin rreth). Ky interval do të shërbejë si një prototip për ne intervali i besimit .

Tani le të kuptojmë nëse e dimë shpërndarjen , për të llogaritur këtë interval? Për t'iu përgjigjur pyetjes, duhet të tregojmë formën e shpërndarjes dhe parametrat e saj.

Ne e dimë formën e shpërndarjes - është shpërndarje normale(kujtoni se ne po flasim për shpërndarja e mostrësstatistikatX Mart).

Ne nuk e dimë parametrin μ (thjesht duhet të vlerësohet duke përdorur intervali i besimit), por ne kemi vlerësimin e tij X e Marte, llogaritur në bazë të marrja e mostrave, të cilat mund të përdoren.

Parametri i dytë është devijimi standard i mesatares së mostrësdo ta konsiderojmë të njohur, është e barabartë me σ / √n.

Sepse nuk e njohim μ, atëherë do të ndërtojmë intervalin +/- 2 devijimet standarde jo nga vlera mesatare, dhe nga vlerësimi i tij i njohur X Mart... Ato kur llogaritet intervali i besimit NUK do ta supozojmë atë X Mart bie në rangun +/- 2 devijimet standarde nga μ me një probabilitet prej 95%, dhe ne do të supozojmë se intervali +/- 2 devijimet standarde nga X Mart me një probabilitet prej 95% do të mbulojë μ - mesatarja e popullsisë së përgjithshme, nga e cila është marrë mostër... Këto dy pohime janë ekuivalente, por pohimi i dytë na lejon të ndërtojmë intervali i besimit .

Përveç kësaj, le të përsosim intervalin: një ndryshore e rastësishme e shpërndarë ligj normal, me një probabilitet prej 95% bie në intervalin +/- 1.960 devijimet standarde, jo +/- 2 devijimet standarde... Kjo mund të llogaritet duke përdorur formulën = NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), cm shembulli i skedarit Sheet Spacing .

Tani mund të formulojmë një deklaratë probabilistike që do të na shërbejë për të formuar intervali i besimit: “Probabiliteti që mesatarja e popullsisëështë nga mostër mesatare brenda 1,960 " devijimet standarde të mesatares së mostrës ", është e barabartë me 95% ".

Vlera e probabilitetit e përmendur në deklaratë ka një emër të veçantë e cila shoqërohet me niveli i rëndësisë α (alfa) me një shprehje të thjeshtë niveli i besimit = 1 -α . Në rastin tonë niveli i rëndësisë α =1-0,95=0,05 .

Tani, bazuar në këtë pohim probabilistik, ne shkruajmë një shprehje për llogaritjen intervali i besimit :

ku Z α / 2 – standardeshpërndarje normale(një vlerë e tillë e ndryshores së rastit z , çfarë P (z >= Z α / 2 ) = α / 2).

shënim : Α / 2-kuantile e sipërme përcakton gjerësinë intervali i besimit v devijimet standardemesatarja e mostrës. Α / 2-kuantile e sipërme standardeshpërndarje normale gjithmonë më e madhe se 0, gjë që është shumë e përshtatshme.

Në rastin tonë, në α = 0.05, α / 2-kuantile e sipërme është e barabartë me 1.960. Për nivelet e tjera të rëndësisë α (10%; 1%) α / 2-kuantile e sipërmeZ α / 2 mund të llogaritet duke përdorur formulën = STANDARD ST.OBR (1-α / 2) ose nëse dihet niveli i besimit , = NORM.ST.OBR ((1 + niveli i besimit) / 2) .

Zakonisht gjatë ndërtimit intervalet e besimit për vlerësimin e mesatares përdorni vetëm α α të sipërme /2- kuantike dhe mos përdorni më e ulët α /2- kuantike... Kjo është e mundur sepse standardeshpërndarje normale në mënyrë simetrike rreth boshtit x ( dendësia e shpërndarjes së tij simetrike në lidhje me mesatare, d.m.th. 0) . Prandaj, nuk ka nevojë të llogaritet më e ulët α / 2-kuantile(quhet thjesht α / 2-kuantile), sepse është e barabartë α α të sipërme /2- kuantike me një shenjë minus.

Kujtojmë që, pavarësisht nga forma e shpërndarjes së madhësisë x, ndryshorja përkatëse e rastësishme X Mart të shpërndara përafërsishtmirë N (μ; σ 2 / n) (shih artikullin rreth). Prandaj, në rastin e përgjithshëm, shprehja e mësipërme për intervali i besimitështë vetëm i përafërt. Nëse sasia x shpërndahet mbi ligj normal N (μ; σ 2 / n), atëherë shprehja për intervali i besimit eshte e sakte

Llogaritja e intervalit të besimit në MS EXCEL

Le ta zgjidhim problemin. Koha e reagimit komponent elektronik ndaj sinjalit hyrës është një karakteristikë e rëndësishme e pajisjes. Inxhinieri dëshiron të krijojë një interval besimi për kohën mesatare të përgjigjes në një nivel besimi 95%. Inxhinieri e di nga përvoja e mëparshme se devijimi standard i kohës së përgjigjes është 8ms. Dihet që inxhinieri bëri 25 matje për të vlerësuar kohën e përgjigjes, vlera mesatare ishte 78 ms.

Zgjidhja: Një inxhinier dëshiron të dijë kohën e reagimit të një pajisjeje elektronike, por ai e kupton që koha e përgjigjes nuk është një fikse, por një ndryshore e rastësishme që ka shpërndarjen e vet. Pra, më e mira në të cilën ai mund të llogarisë është të përcaktojë parametrat dhe formën e kësaj shpërndarjeje.

Fatkeqësisht, nga deklarata e problemit, ne nuk e dimë formën e shpërndarjes së kohës së përgjigjes (nuk ka pse të jetë normale) , kjo shpërndarje është gjithashtu e panjohur. I njohur vetëm për të devijimi standardσ = 8. Prandaj, ndërsa ne nuk mund të llogarisim probabilitetet dhe të ndërtojmë intervali i besimit .

Sidoqoftë, përkundër faktit se nuk e dimë shpërndarjen kohapërgjigje e veçantë, ne e dimë se sipas KPT -ja , shpërndarja e mostrëskoha mesatare e përgjigjesështë përafërsisht normale(ne do të supozojmë se kushtet KPT -ja kryhen sepse permasa marrja e mostrave mjaft e madhe (n = 25)) .

Per me teper, mesatar e kësaj shpërndarje është mesatare shpërndarja e një përgjigjeje të vetme, d.m.th. μ A devijimi standard e kësaj shpërndarje (σ / √n) mund të llogaritet me formulën = 8 / ROOT (25).

Dihet gjithashtu se inxhinieri mori vlerësim pikë parametri μ i barabartë me 78 msec (X krh.). Prandaj, tani ne mund të llogarisim probabilitetet, meqenëse ne e dimë formën e shpërndarjes ( normale) dhe parametrat e tij (X cf dhe σ / √n).

Inxhinieri dëshiron të dijë vlera e pritshmeμ të shpërndarjes së kohës së përgjigjes. Siç u përmend më lart, kjo μ është e barabartë me pritshmëria matematikore e shpërndarjes së mostrës së kohës mesatare të përgjigjes... Nëse përdorim shpërndarje normale N (X cf; σ / √n), atëherë μ e dëshiruar do të jetë në rangun +/- 2 * σ / √n me një probabilitet prej rreth 95%.

Niveli i rëndësisëështë e barabartë me 1-0.95 = 0.05.

Së fundi, gjeni kufirin e majtë dhe të djathtë intervali i besimit... Kufiri i majtë: = 78-STANDARD ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / Rrënjë (25) = 74,864 Kufiri i djathtë: = 78 + NORM.ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / Rrënjë (25) = 81.136

Kufiri i majtë: = NORM.OBR (0.05 / 2; 78; 8 / Rrënjë (25)) Kufiri i djathtë: = NORM.INV (1-0.05 / 2; 78; 8 / Rrënjë (25))

Pergjigju : intervali i besimit në niveli i besimit 95% dhe σ =8 Znjështë e barabartë me 78 +/- 3.136 sek.

V shembull skedari në fletën e punës Sigma dihet një formë për llogaritjen dhe ndërtimin dypalësheintervali i besimit për arbitrare mostrat me σ të dhënë dhe niveli i rëndësisë .

Funksioni CONFIDENCE.NORM ()

Nëse vlerat marrja e mostrave janë në rang B20: B79 , a niveli i rëndësisë e barabartë me 0.05; atëherë formula MS EXCEL: = MESATARE (B20: B79) -TRUST.NORM (0.05, σ, COUNT (B20: B79)) do të kthejë kufirin e majtë intervali i besimit .

I njëjti kufi mund të llogaritet duke përdorur formulën: = MESATARE (B20: B79) -NORM.ST.INV (1-0.05 / 2) * σ / ROOT (NUMRI (B20: B79))

shënim: Funksioni CONFIDENCE.NORM () u shfaq në MS EXCEL 2010. Në versionet e mëparshme të MS EXCEL, funksioni CONFIDENCE () u përdor.

Në nënseksionet e mëparshme, ne kemi marrë parasysh çështjen e vlerësimit të një parametri të panjohur a një numër. Ky vlerësim quhet "pikë". Në një numër detyrash, kërkohet jo vetëm për të gjetur parametrin a një vlerë të përshtatshme numerike, por gjithashtu vlerësoni saktësinë dhe besueshmërinë e saj. Ju dëshironi të dini se në cilat gabime mund të çojë një zëvendësim i parametrave a vlerësimi i saj i pikës a dhe me çfarë shkalle sigurie mund të presim që këto gabime të qëndrojnë brenda kufijve të njohur?

Problemet e këtij lloji janë veçanërisht të rëndësishme për një numër të vogël vëzhgimesh, kur vlerësimi i pikës dhe ne në një masë të madhe, është aksidentale dhe zëvendësimi i përafërt i a me a mund të çojë në gabime serioze.

Për të dhënë një ide mbi saktësinë dhe besueshmërinë e vlerësimit a,

në statistikat matematikore përdoren të ashtuquajturat intervale të besimit dhe probabilitete besimi.

Lë për parametrin a nga përvoja vlerësim i paanshëm a Ne duam të vlerësojmë gabimin e mundshëm në këtë rast. Le të caktojmë një probabilitet mjaft të madh p (për shembull, p = 0.9, 0.95, ose 0.99) në mënyrë që një ngjarje me probabilitet p të konsiderohet praktikisht e besueshme, dhe ne gjejmë një vlerë të tillë s për të cilën

Pastaj sfera e vlerave praktikisht të mundshme të gabimit që lindin kur zëvendësohet a më a, do të jetë ± s; gabime të mëdha në vlerë absolute do të shfaqen vetëm me një probabilitet të vogël a = 1 - p. Le të rishkruajmë (14.3.1) si:

Barazia (14.3.2) do të thotë që me probabilitet p vlera e panjohur e parametrit a bie brenda intervalit

Në të njëjtën kohë, duhet të theksohet një rrethanë. Më parë, ne kemi konsideruar në mënyrë të përsëritur probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar jo të rastit. Këtu situata është e ndryshme: sasia a jo aksidentale, por intervali / p është i rastësishëm. Rastësisht pozicioni i tij në boshtin e abshisës, i përcaktuar nga qendra e tij a; gjatësia e intervalit 2s është gjithashtu e rastësishme në përgjithësi, pasi vlera e s llogaritet, si rregull, nga të dhënat eksperimentale. Prandaj, në këtë rast, do të ishte më mirë të interpretohej vlera e p jo si probabiliteti i "goditjes" së pikës a në intervalin / p, dhe si probabilitet që intervali i rastësishëm / p të mbulojë pikën a(fig. 14.3.1).

Oriz. 14.3.1

Probabiliteti p zakonisht quhet niveli i besimit, dhe intervali / p është intervali i besimit. Kufijtë e intervalit Nëse a x = a- s dhe a 2 = a + por i thirrur kufijtë e besimit.

Le të japim një interpretim tjetër të konceptit të një intervali besimi: ai mund të konsiderohet si një interval i vlerave të parametrave nje, në përputhje me të dhënat eksperimentale dhe duke mos i kundërshtuar ato. Në të vërtetë, nëse biem dakord të konsiderojmë një ngjarje me probabilitet a = 1-p praktikisht e pamundur, atëherë ato vlera të parametrit a për të cilat a - a> s, duhet të njihen si në kundërshtim me të dhënat eksperimentale, dhe ato për të cilat | a - a a t na 2.

Lë për parametrin a ekziston një vlerësim i paanshëm a Nëse do ta dinim ligjin e shpërndarjes së sasisë a, problemi i gjetjes së intervalit të besimit do të ishte mjaft i thjeshtë: do të ishte e mjaftueshme për të gjetur një vlerë të tillë të s për të cilën

Vështirësia është se ligji i shpërndarjes së vlerësimit a varet nga ligji i shpërndarjes së sasisë X dhe, prandaj, në parametrat e tij të panjohur (në veçanti, në vetë parametrin a)

Për të kapërcyer këtë vështirësi, mund të aplikohet përafrimi i mëposhtëm i përafërt: zëvendësoni parametrat e panjohur në shprehjen për s me vlerësimet e tyre të pikave. Me një numër relativisht të madh të eksperimenteve NS(rreth 20 ... 30) kjo teknikë zakonisht jep rezultate të kënaqshme për sa i përket saktësisë.

Si shembull, merrni parasysh problemin e intervalit të besimit për pritshmërinë matematikore.

Le të prodhohet NS X, karakteristikat e të cilave janë pritshmëria matematikore T dhe varianca D- e panjohur. Për këto parametra, u morën vlerësimet e mëposhtme:

Kërkohet të ndërtohet intervali i besimit / p, që korrespondon me probabilitetin e besimit p, për pritshmërinë matematikore T madhësive X.

Kur zgjidhim këtë problem, ne do të përdorim faktin se sasia T paraqet shumën NS variabla të rastësishëm të shpërndarë identikisht të pavarur X h dhe sipas teoremës së kufirit qendror për mjaftueshëm të madh NS ligji i shpërndarjes së tij është afër normales. Në praktikë, edhe me një numër relativisht të vogël termash (rreth 10 ... 20), ligji i shpërndarjes së shumës mund të konsiderohet afërsisht normal. Ne do të vazhdojmë nga fakti se sasia T shpërndahen sipas ligjit normal. Karakteristikat e këtij ligji - pritshmëria dhe varianca matematikore - janë përkatësisht të barabarta T dhe

(shih kapitullin 13 nënseksioni 13.3). Supozoni se sasia D ne njohim dhe gjejmë një vlerë të tillë Ep, për të cilën

Duke aplikuar formulën (6.3.5) në Kapitullin 6, ne shprehim probabilitetin në anën e majtë të (14.3.5) për sa i përket funksionit normal të shpërndarjes

ku është devijimi standard i vlerësimit T.

Nga ekuacioni

ne gjejmë vlerën e Sp:

ku arg Ф * (х) është funksioni invers i F * (NS), ato një vlerë e tillë e argumentit për të cilin funksioni normal i shpërndarjes është i barabartë me NS

Shpërndarje D, përmes së cilës shprehet vlera a 1P, ne nuk e dimë saktësisht; si vlerë e saj e përafërt, mund të përdorni vlerësimin D(14.3.4) dhe vendosni afërsisht:

Kështu, problemi i ndërtimit të një intervali besimi është zgjidhur përafërsisht, i cili është i barabartë me:

ku gp përcaktohet me formulën (14.3.7).

Për të shmangur ndërhyrjen e kundërt në tabelat e funksionit Ф * (л) kur llogaritni s p, është i përshtatshëm të hartoni një tabelë të veçantë (Tabela 14.3.1), e cila jep vlerat e sasisë

në varësi të p. Sasia (p përcakton për ligjin normal numrin e devijimeve standarde që duhet të lihen mënjanë në të djathtë dhe të majtë të qendrës së shpërndarjes në mënyrë që probabiliteti i goditjes së zonës që rezulton të jetë i barabartë me p.

Përmes vlerës së 7 p, intervali i besimit shprehet si:

Tabela 14.3.1

Shembull 1. Kryen 20 eksperimente mbi vlerën X; rezultatet tregohen në tabelë. 14.3.2.

Tabela 14.3.2

Kërkohet të gjendet një vlerësim i pritshmërisë matematikore të sasisë X dhe ndërtoni një interval besimi që korrespondon me një nivel besimi p = 0.8.

Zgjidhja. Ne kemi:

Duke zgjedhur si origjinë l: = 10, sipas formulës së tretë (14.2.14) gjejmë vlerësimin e paanshëm D :

Sipas tabelës. 14.3,1 gjeni

Kufijtë e besimit:

Intervali i konfidencës:

Vlerat e parametrave T, të shtrirë në këtë interval janë në përputhje me të dhënat eksperimentale të dhëna në tabelë. 14.3.2.

Intervali i besimit për variancën mund të ndërtohet në një mënyrë të ngjashme.

Le të prodhohet NS eksperimente të pavarura në një ndryshore të rastësishme X me parametra të panjohur nga dhe A, dhe për variancën D merret vlerësimi i paanshëm:

Kërkohet të ndërtohet afërsisht intervali i besimit për variancën.

Nga formula (14.3.11) shihet se sasia D përfaqëson

Shuma NS ndryshoret e rastësishme të formës. Këto sasi nuk janë

të pavarur, pasi secila prej tyre përfshin sasinë T, të varur nga të gjithë të tjerët. Sidoqoftë, mund të tregohet se me rritjen NS ligji i shpërndarjes së shumës së tyre është gjithashtu afër normales. Praktikisht në NS= 20 ... 30 tashmë mund të konsiderohet normale.

Le të supozojmë se është kështu, dhe të gjejmë karakteristikat e këtij ligji: pritshmëria dhe varianca matematikore. Që nga rezultati D- e paanshme, atëherë M [D] = D.

Llogaritja e variancës D D shoqërohet me llogaritjet relativisht komplekse, kështu që ne paraqesim shprehjen e tij pa dalje:

ku q 4 është momenti i katërt qendror i sasisë X.

Për të përdorur këtë shprehje, duhet të zëvendësoni vlerat 4 dhe D(të paktën të përafërta). Në vend të D ju mund të përdorni vlerësimin e tij D. Në parim, momenti i katërt qendror gjithashtu mund të zëvendësohet me një vlerësim, për shembull, me një vlerë të formës:

por një zëvendësim i tillë do të japë një saktësi jashtëzakonisht të ulët, pasi në përgjithësi, me një numër të kufizuar eksperimentesh, momentet e rendit të lartë përcaktohen me gabime të mëdha. Sidoqoftë, në praktikë shpesh ndodh që forma e ligjit të shpërndarjes së sasisë X dihet paraprakisht: vetëm parametrat e tij janë të panjohur. Atëherë mund të provoni të shprehni q 4 në terma të D.

Le të marrim rastin më të shpeshtë kur sasia X shpërndahen sipas ligjit normal. Pastaj momenti i tij i katërt qendror shprehet në terma të variancës (shih Kapitullin 6 Nënseksioni 6.2);

dhe formula (14.3.12) jep ose

Duke zëvendësuar në (14.3.14) të panjohurën D vlerësimin e tij D, marrim: nga

Momenti c 4 mund të shprehet në terma të D edhe në disa raste të tjera, kur shpërndarja e sasisë X nuk është normale, por pamja e saj dihet. Për shembull, për ligjin e densitetit të njëtrajtshëm (shih Kapitullin 5) kemi:

ku (a, P) është intervali në të cilin specifikohet ligji.

Prandaj,

Me formulën (14.3.12) marrim: prej nga gjejmë përafërsisht

Në rastet kur forma e ligjit të shpërndarjes të 26 është e panjohur, përsëri rekomandohet të përdoret formula (14.3.16) kur vlerësohet afërsisht vlera e a /), përveç nëse ka arsye të veçanta për të besuar se ky ligj është shumë i ndryshëm nga normale (ka një tepricë të dukshme pozitive ose negative) ...

Nëse vlera e përafërt e a /) merret në një mënyrë ose në një tjetër, atëherë është e mundur të ndërtohet një interval besimi për variancën në të njëjtën mënyrë siç e kemi ndërtuar për pritshmërinë matematikore:

ku vlera, në varësi të probabilitetit të dhënë p, gjendet sipas tabelës. 14.3.1.

Shembull 2. Gjeni një interval besueshmërie afërsisht 80% për variancën e një ndryshoreje të rastësishme X në kushtet e Shembullit 1, nëse dihet se sasia X shpërndahen sipas një ligji afër normales.

Zgjidhja. Vlera mbetet e njëjtë si në tabelë. 14.3.1:

Sipas formulës (14.3.16)

Duke përdorur formulën (14.3.18), gjejmë intervalin e besimit:

Gama përkatëse e vlerave të devijimit standard: (0.21; 0.29).

14.4 Metodat e sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit për parametrat e një variabli të rastësishëm të shpërndarë sipas ligjit normal

Në nënseksionin e mëparshëm, ne shikuam metoda përafërsisht të përafërta për ndërtimin e intervaleve të besimit për pritshmërinë dhe variancën. Këtu do të japim një ide mbi metodat e sakta për zgjidhjen e të njëjtit problem. Theksojmë se për të gjetur me saktësi intervalet e besimit, është absolutisht e nevojshme të njihni paraprakisht formën e ligjit të shpërndarjes së sasisë X, kurse për aplikimin e metodave të përafërta kjo nuk është e nevojshme.

Ideja pas metodave të sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit është si më poshtë. Çdo interval besimi gjendet nga gjendja që shpreh probabilitetin e përmbushjes së pabarazive të caktuara, të cilat përfshijnë vlerësimin me interes për ne a Ligji i shpërndarjes së vlerësimit a në rastin e përgjithshëm varet nga parametrat e panjohur të sasisë X. Sidoqoftë, ndonjëherë është e mundur të kalosh në pabarazi nga një ndryshore e rastësishme a ndaj ndonjë funksioni tjetër të vlerave të vëzhguara X n X 2, ..., X f. ligji i shpërndarjes së të cilit nuk varet nga parametrat e panjohur, por varet vetëm nga numri i eksperimenteve dhe nga forma e ligjit të shpërndarjes për sasinë X. Variablat e rastësishëm të këtij lloji luajnë një rol të rëndësishëm në statistikat matematikore; ato janë studiuar në mënyrë më të detajuar për rastin e shpërndarjes normale të sasisë X.

Për shembull, u vërtetua se për një shpërndarje normale të sasisë X vlerë e rastësishme

i bindet të ashtuquajturës Ligji i shpërndarjes së studentëve me NS- 1 shkallë lirie; dendësia e këtij ligji ka formën

ku Г (х) është funksioni i njohur gama:

Gjithashtu u vërtetua se ndryshorja e rastësishme

ka një "shpërndarje% 2" me NS- 1 shkallë lirie (shih Kapitullin 7), dendësia e së cilës shprehet me formulën

Pa u ndalur në derivimet e shpërndarjeve (14.4.2) dhe (14.4.4), ne tregojmë se si ato mund të aplikohen kur ndërtojmë intervale të besimit për parametrat ty D.

Le të prodhohet NS eksperimente të pavarura në një ndryshore të rastësishme X, shpërndahen sipas ligjit normal me parametra të panjohur tio Për këto parametra, janë marrë vlerësimet

Kërkohet të ndërtohen intervale besimi për të dy parametrat që korrespondojnë me probabilitetin e besimit p.

Le të ndërtojmë së pari intervalin e besimit për pritshmërinë matematikore. Natyrisht, ky interval merret në mënyrë simetrike në lidhje me T; shënoni me s p gjysmën e gjatësisë së intervalit. Sasia s p duhet të zgjidhet në mënyrë që gjendja

Le të përpiqemi të kalojmë në anën e majtë të barazisë (14.4.5) nga variabla e rastësishme T te një ndryshore e rastësishme T, shpërndahen sipas ligjit të Studentëve. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë të dy anët e pabarazisë | m-w? |

me një vlerë pozitive: ose, duke përdorur shënimin (14.4.1),

Le të gjejmë një numër / p të tillë që vlera / p të gjendet nga gjendja

Nga formula (14.4.2) shihet se (1) është një funksion i barabartë, prandaj (14.4.8) jep

Barazia (14.4.9) përcakton vlerën e / p në varësi të p. Nëse keni në dispozicion një tabelë vlerash të integralit

atëherë vlera e / p mund të gjendet me interpolim të kundërt në tabelë. Sidoqoftë, është më i përshtatshëm të hartoni një tabelë të vlerave / p paraprakisht. Një tabelë e tillë jepet në shtojcën (Tabela 5). Kjo tabelë tregon vlerat në varësi të probabilitetit të besimit p dhe numrit të shkallëve të lirisë NS- 1. Duke përcaktuar / p sipas tabelës. 5 dhe duke supozuar

do të gjejmë gjysmën e gjerësisë së intervalit të besimit / p dhe vetë intervalit

Shembull 1. Bëri 5 eksperimente të pavarura në një ndryshore të rastësishme X, shpërndahen normalisht me parametra të panjohur T dhe rreth Rezultatet e eksperimenteve janë paraqitur në tabelë. 14.4.1.

Tabela 14.4.1

Gjeni një vlerësim T për pritshmërinë matematikore dhe ndërtoni një interval besimi 90% / p për të (d.m.th., intervali që korrespondon me probabilitetin e besimit p = 0.9).

Zgjidhja. Ne kemi:

Sipas tabelës 5 aplikimet për NS - 1 = 4 dhe p = 0.9 gjejmë ku

Intervali i besimit do të jetë

Shembull 2. Për kushtet e shembullit 1 të nënseksionit 14.3, duke marrë vlerën X shpërndarë normalisht, gjeni intervalin e saktë të besimit.

Zgjidhja. Sipas tabelës 5, gjejmë aplikime për NS - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; nga këtu

Krahasuar me zgjidhjen e shembullit 1 të nënseksionit 14.3 (e p = 0.072), ne jemi të bindur se mospërputhja është shumë e parëndësishme. Nëse e mbajmë saktësinë në vendin e dytë dhjetor, atëherë intervalet e besimit të gjetura me metoda të sakta dhe të përafërta përkojnë:

Le të kalojmë në ndërtimin e një intervali besimi për variancën. Merrni parasysh vlerësimin e paanshëm të variancës

dhe shpreh ndryshoren e rastësishme D përmes vlerës V(14.4.3) që ka një shpërndarje x 2 (14.4.4):

Njohja e ligjit të shpërndarjes së sasisë V, mund të gjendet intervali / (1, në të cilin bie me një probabilitet të caktuar p.

Ligji i shpërndarjes k n _ x (v) sasia I 7 ka formën e treguar në Fig. 14.4.1.

Oriz. 14.4.1

Shtrohet pyetja: si të zgjidhni intervalin / p? Nëse ligji i shpërndarjes së sasisë V ishte simetrik (si ligji normal ose shpërndarja e Studentit), do të ishte e natyrshme të merrej intervali / p simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore. Në këtë rast, ligji k n _ x (v) asimetrike. Le të pajtohemi të zgjedhim intervalin / p në mënyrë që probabilitetet e prodhimit të sasisë V jashtë intervalit në të djathtë dhe në të majtë (zonat me hije në Fig. 14.4.1) ishin të njëjta dhe të barabarta

Për të ndërtuar një interval / p me këtë pronë, ne do të përdorim tabelën. 4 shtojca: rendit numrat y) sikurse

për sasinë V, që ka x 2 -shpërndarje me shkallë r të lirisë. Në rastin tonë r = n- 1. Le të rregullojmë r = n- 1 dhe gjeni në rreshtin përkatës të tabelës. 4 dy kuptime x 2 - njëra i korrespondon probabilitetit tjetra - probabilitetet Le t'i shënojmë këto

kuptim ne 2 dhe xl? Intervali ka ne 2, e majta e tij, dhe y ~ fundi i duhur.

Tani le të gjejmë intervalin e besimit të dëshiruar / | për variancën me kufijtë D, dhe D 2, e cila mbulon pikën D me probabilitet p:

Le të ndërtojmë një interval të tillë / (, = (?> B A), i cili mbulon pikën D nëse dhe vetëm nëse sasia V bie në intervalin / p. Le të tregojmë se intervali

plotëson këtë kusht. Në të vërtetë, pabarazitë janë ekuivalente me pabarazitë

dhe këto pabarazi janë të kënaqur me probabilitetin p. Kështu, intervali i besimit për variancën gjendet dhe shprehet me formulën (14.4.13).

Shembulli 3. Gjeni intervalin e besimit për variancën nën kushtet e Shembullit 2 të Nënseksionit 14.3, nëse dihet se vlera X shpërndahen normalisht.

Zgjidhja. Ne kemi ... Sipas tabelës 4 të shtojcës

gjejmë në r = n - 1 = 19

Duke përdorur formulën (14.4.13), gjejmë intervalin e besimit për variancën

Intervali përkatës për devijimin standard: (0.21; 0.32). Ky interval vetëm pak tejkalon intervalin (0.21; 0.29) të marrë në shembullin 2 të nënseksionit 14.3 me një metodë të përafërt.

• Figura 14.3.1 konsideron një interval besimi që është simetrik me a. Në përgjithësi, siç do të shohim më vonë, kjo është opsionale.

Intervali i konfidencës(CI; në anglisht, intervali i besimit - CI) i marrë në një studim me një mostër jep një masë të saktësisë (ose pasigurisë) të rezultateve të studimit në mënyrë që të nxirren përfundime në lidhje me popullsinë e të gjithë pacientëve të tillë (popullata e përgjithshme). Përkufizimi i saktë i 95% CI mund të formulohet si më poshtë: 95% e intervaleve të tilla do të përmbajnë vlerën e vërtetë në popullatë. Ky interpretim është disi më pak i saktë: CI është diapazoni i vlerave brenda të cilave mund të jeni 95% të sigurt se përmban vlerën e vërtetë. Kur përdorni CI, theksi është në përcaktimin e sasisë së efektit, në krahasim me vlerën P që merret duke testuar për rëndësinë statistikore. Vlera P nuk mat asnjë sasi, por përkundrazi shërben si një masë e fuqisë së provave kundër hipotezës zero të "pa efekt". Vlera P në vetvete nuk na thotë asgjë për madhësinë e ndryshimit, apo edhe për drejtimin e tij. Prandaj, vlerat e pavarura të P janë absolutisht jo informative në artikuj ose abstrakte. Në të kundërt, CI tregon sasinë e efektit të interesit të menjëhershëm, siç është dobia e një trajtimi, dhe fuqinë e provave. Prandaj, JI lidhet drejtpërdrejt me praktikën e MIK.

Qasja e vlerësimit ndaj Analiza statistikore, e ilustruar nga CI, synon të masë sasinë e efektit që na intereson (ndjeshmëria e testit diagnostik, shpeshtësia e rasteve të parashikuara, zvogëlimi i rrezikut relativ në trajtim, etj.), Si dhe matjen e pasigurisë në këtë efekt. Më shpesh, CI është diapazoni i vlerave në të dy anët e vlerësimit, në të cilin vlera e vërtetë ka të ngjarë të qëndrojë, dhe ju mund të jeni 95% të sigurt për këtë. Marrëveshja për të përdorur probabilitetin 95% në mënyrë arbitrare, si dhe vlerën P<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

CI bazohet në idenë se i njëjti studim i kryer në mostrat e tjera të pacientëve nuk do të çonte në rezultate identike, por që rezultatet e tyre do të shpërndaheshin rreth një vlere të vërtetë, por të panjohur. Me fjalë të tjera, CI e përshkruan këtë si "ndryshueshmëri të varur nga mostra". CI nuk pasqyron pasiguri shtesë për shkak të shkaqeve të tjera; në veçanti, nuk përfshin efektet e humbjes selektive të pacientit në gjurmimin, përputhshmërinë e dobët ose matjen e pasaktë të rezultatit, mungesën e verbimit, etj. CI kështu gjithmonë nënvlerëson sasinë totale të pasigurisë.

Llogaritja e Intervalit të Konfidencës

Tabela A1.1. Gabimet standarde dhe intervalet e besimit për disa matje klinike

Në mënyrë tipike, CI llogaritet nga një vlerësim i vëzhguar i një mase sasiore, siç është ndryshimi (d) midis dy proporcioneve dhe një gabimi standard (SE) në vlerësimin e këtij ndryshimi. Përafërsisht 95% CI e marrë kështu është d ± 1.96 SE. Formula ndryshon sipas natyrës së masës së rezultatit dhe fushëveprimit të CI. Për shembull, në një provë të rastit, të kontrolluar nga placebo të vaksinës së pertusis acellular, 72 nga 1,670 foshnjat (4.3%) që morën vaksinën zhvilluan pertusis dhe 240 nga 1,665 (14.4%) kontrolle. Diferenca në përqindje, e njohur si reduktim absolut i rrezikut, është 10.1%. SE e këtij ndryshimi është 0.99%. Prandaj, 95% CI është 10.1% + 1.96 x 0.99%, d.m.th. nga 8.2 në 12.0

Pavarësisht nga qasjet e ndryshme filozofike, testet e rëndësisë statistikore dhe statistikore janë të lidhura ngushtë matematikisht.

Kështu, vlera P është "domethënëse"; R<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

Pasiguria (pasiguria) e vlerësimit, e shprehur në CI, lidhet kryesisht me rrënjën katrore të madhësisë së mostrës. Mostrat e vogla japin më pak informacion sesa ato të mëdhenjtë, dhe CI është përkatësisht më e gjerë në mostrën më të vogël. Për shembull, një artikull që krahason karakteristikat e tre testeve që përdoren për të diagnostikuar infeksionin Helicobacter pylori raportoi një ndjeshmëri prej 95.8% të testit të frymëmarrjes me ure (95% CI 75-100). Ndërsa numri prej 95.8% duket mbresëlënës, një mostër e vogël prej 24 pacientësh të rritur me I. pylori do të thotë se ka një pasiguri të konsiderueshme në këtë vlerësim, siç tregohet nga CI e gjerë. Në të vërtetë, kufiri i poshtëm prej 75% është shumë më i ulët se sa vlerësimi prej 95.8%. Nëse e njëjta ndjeshmëri do të vërehej në një mostër prej 240 personash, atëherë 95% CI do të ishte 92.5-98.0, duke dhënë më shumë garanci se testi është shumë i ndjeshëm.

Në provat e kontrolluara të rastit (RCTs), rezultatet jo të rëndësishme (d.m.th., ato me P> 0.05) janë veçanërisht të ndjeshëm ndaj keqinterpretimit. CI është veçanërisht e dobishme këtu sepse tregon se sa të qëndrueshme janë rezultatet me efektin e vërtetë klinikisht të dobishëm. Për shembull, në një RCT që krahason qepjen kundrejt anastomozës së kapur në zorrën e trashë, infeksioni i plagës u zhvillua në 10.9% dhe 13.5% të pacientëve, respektivisht (P = 0.30). 95% CI për këtë ndryshim është 2.6% (-2 në +8). Edhe në këtë studim të 652 pacientëve, ekziston mundësia që të ketë një ndryshim modest në incidencën e infeksioneve që rezultojnë nga dy procedurat. Sa më pak kërkime, aq më e madhe është pasiguria. Sung et al. kreu një RCT për të krahasuar infuzionin e oktreotidit me skleroterapinë e urgjencës për gjakderdhje akute të variçeve në 100 pacientë. Në grupin oktreotid, shkalla e ndalimit të gjakderdhjes ishte 84%; në grupin e skleroterapisë - 90%, e cila jep P = 0.56. Vini re se normat e gjakderdhjes së vazhdueshme janë të ngjashme me ato të infeksionit të plagës në studimin e përmendur. Në këtë rast, megjithatë, 95% CI për diferencën e ndërhyrjes është 6% (-7 në +19). Ky varg është mjaft i gjerë në krahasim me diferencën prej 5% që do të ishte me interes klinik. Shtë e qartë se studimi nuk përjashton një ndryshim të rëndësishëm në efektivitet. Prandaj, përfundimi i autorëve "infuzioni i oktreotidit dhe skleroterapia janë po aq efektive në trajtimin e gjakderdhjes nga venat me variçe" nuk është përfundimisht i vlefshëm. Në raste si kjo, ku, si këtu, 95% CI për zvogëlimin e rrezikut absolut (ARR) përfshin zero, CI për numrin e nevojshëm për të trajtuar (NNT) është mjaft e vështirë të interpretohet. ... NPLP dhe CI e tij rrjedhin nga reciprokja e ACP (shumëzuar me 100 nëse këto vlera jepen si përqindje). Këtu marrim BPHP = 100: 6 = 16.6 me CI 95% prej -14.3 në 5.3. Siç mund ta shihni nga fusnota "d" në tabelë. A1.1, ky CI përfshin vlerat e BPHP nga 5.3 në pafundësi dhe vlerat e BPHP nga 14.3 në pafundësi.

CI mund të ndërtohen për vlerësimet ose krahasimet statistikore më të përdorura. Për RCTs, ai përfshin ndryshimin midis proporcioneve mesatare, rreziqeve relative, raporteve të shanseve dhe NPP. Në mënyrë të ngjashme, CI mund të merren për të gjitha vlerësimet kryesore të bëra në studimet e saktësisë së testeve diagnostikuese - ndjeshmëria, specifikat, vlera parashikuese e një rezultati pozitiv (të gjitha këto janë përmasa të thjeshta), dhe raportet e gjasave - vlerësimet e marra në meta -analiza dhe studime krahasimi-me-kontroll. Një program kompjuterik për kompjuterët personalë që mbulon shumë nga këto përdorime të ID është i disponueshëm me botimin e dytë të Statistikave me Konfidencë. Makrot për llogaritjen e CI për proporcionet janë në dispozicion falas për Excel dhe programet statistikore SPSS dhe Minitab në http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proporcione, htm.

Vlerësime të shumta të efektit të trajtimit

Ndërsa CI janë të dëshirueshme për rezultatet e studimit parësor, ato nuk kërkohen për të gjitha rezultatet. CI merret me krahasime klinike të rëndësishme. Për shembull, kur krahasojmë dy grupe, CI e saktë është ajo e ndërtuar për ndryshimin midis grupeve, siç tregohet në shembujt e mësipërm, dhe jo CI që mund të ndërtohet për vlerësimin në secilin grup. Jo vetëm që është e kotë të siguroni CI të veçantë për vlerësimet në secilin grup, ky përfaqësim mund të jetë mashtrues. Gjithashtu, qasja e saktë kur krahasojmë efikasitetin e trajtimit në nëngrupe të ndryshme është krahasimi i drejtpërdrejtë i dy (ose më shumë) nëngrupeve. Incorrectshtë e pasaktë të supozohet se trajtimi është efektiv vetëm në një nëngrup nëse CI i tij nuk përjashton asnjë efekt dhe të tjerët jo. CI janë gjithashtu të dobishme kur krahasohen rezultatet në nëngrupe të shumta. Ne fig Një 1.1 tregon rrezikun relativ të eklampsisë në gratë me preeklampsi në një nëngrup të grave nga një RCT e kontrolluar nga placebo e sulfatit të magnezit.

Oriz. A1.2. Komploti pyjor tregon rezultatet e 11 provave klinike të rastësishme të vaksinës kundër virusit të gjedhit për parandalimin e diarresë kundrejt placebo. Në vlerësimin e rrezikut relativ të diarresë, u përdor një interval besueshmërie 95%. Madhësia e katrorit të zi është proporcionale me sasinë e informacionit. Përveç kësaj, rezultati i efikasitetit kumulativ i trajtimit dhe intervali i besimit 95% (i shënuar me një diamant) janë treguar. Meta-analiza përdori një model efektesh të rastit që tejkalon disa nga ato të paracaktuara; për shembull, mund të jetë madhësia e përdorur në llogaritjen e madhësisë së mostrës. Për një kriter më të rreptë, i gjithë sfera e CI duhet të tregojë përfitime që tejkalojnë një minimum të paracaktuar.

Ne kemi diskutuar tashmë gabimin në të cilin mungesa e rëndësisë statistikore merret si një tregues se dy trajtime janë njësoj efektive. Equallyshtë po aq e rëndësishme që të mos barazohet rëndësia statistikore me rëndësinë klinike. Rëndësia klinike mund të nxirret kur rezultati është statistikisht i rëndësishëm dhe madhësia e vlerësimit të efikasitetit të trajtimit

Hulumtimet mund të tregojnë nëse rezultatet janë statistikisht të rëndësishme dhe cilat janë klinikisht të rëndësishme dhe cilat jo. Ne fig A1.2 tregon rezultatet e katër testeve për të cilat i gjithë CI<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

Intervali i besimit për pritjen - ky është një interval i tillë i llogaritur nga të dhënat, i cili me një probabilitet të njohur përmban pritshmërinë matematikore të popullatës së përgjithshme. Një vlerësim natyror për pritshmërinë matematikore është mesatarja aritmetike e vlerave të tij të vëzhguara. Prandaj, më tej në mësim, ne do të përdorim termat "mesatar", "vlerë mesatare". Në detyrat e llogaritjes së intervalit të besimit, më së shpeshti kërkohet një përgjigje e llojit "Intervali i besimit të mesatares [vlera në një problem të veçantë] është nga [vlera më të ulëta] në [vlera më të larta]". Me ndihmën e intervalit të besimit, është e mundur të vlerësohen jo vetëm vlerat mesatare, por edhe pesha specifike e një tipari të veçantë të popullatës së përgjithshme. Vlerat mesatare, varianca, devijimi standard dhe gabimi, përmes të cilave do të arrijmë në përkufizime dhe formula të reja, janë çmontuar në mësim Mostra dhe karakteristikat e popullsisë .

Vlerësimet pikë dhe interval të mesatares

Nëse vlera mesatare e popullsisë së përgjithshme vlerësohet me një numër (pikë), atëherë vlerësimi i vlerës mesatare të panjohur të popullsisë së përgjithshme merret si mesatarja specifike, e cila llogaritet nga mostra e vëzhgimeve. Në këtë rast, vlera e mesatares së mostrës - një ndryshore e rastësishme - nuk përkon me vlerën mesatare të popullsisë së përgjithshme. Prandaj, kur specifikoni vlerën mesatare të mostrës, është e nevojshme të tregoni gabimin e marrjes së mostrës në të njëjtën kohë. Si masë e gabimit të kampionimit, përdoret gabimi standard, i cili shprehet në të njëjtat njësi matëse si mesatarja. Prandaj, shpesh përdoret shënimi i mëposhtëm :.

Nëse vlerësimi i mesatares kërkohet të shoqërohet me një probabilitet të caktuar, atëherë parametri me interes për popullatën e përgjithshme duhet të vlerësohet jo me një numër, por me një interval. Intervali i besimit është intervali në të cilin, me një probabilitet të caktuar P gjendet vlera e treguesit të vlerësuar të popullsisë së përgjithshme. Intervali i konfidencës, në të cilin probabiliteti P = 1 - α gjendet një ndryshore e rastësishme, e llogaritur si më poshtë:

,

α = 1 - P, e cila mund të gjendet në shtojcën e pothuajse çdo libri mbi statistikat.

Në praktikë, mesatarja dhe varianca e popullsisë nuk dihen, kështu që varianca e popullsisë zëvendësohet me variancën e mostrës, dhe mesatarja e popullsisë zëvendësohet me mesataren e mostrës. Kështu, intervali i besimit në shumicën e rasteve llogaritet si më poshtë:

.

Formula e intervalit të besimit mund të përdoret për të vlerësuar mesataren e popullsisë nëse

• dihet devijimi standard i popullsisë;
• ose devijimi standard i popullsisë nuk dihet, por madhësia e mostrës është më e madhe se 30.

Mesatarja e mostrës është vlerësimi i paanshëm i mesatares së popullsisë. Nga ana tjetër, varianca e mostrës nuk është një vlerësim i paanshëm i variancës së popullsisë. Për të marrë një vlerësim të paanshëm të variancës së popullsisë së përgjithshme në formulën e variancës së mostrës, madhësia e mostrës n duhet të zëvendësohet me n-1.

Shembulli 1 Informacioni i mbledhur nga 100 kafene të zgjedhura rastësisht në një qytet që numri mesatar i punonjësve në to është 10.5 me një devijim standard prej 4.6. Përcaktoni intervalin e besimit të 95% të numrit të punonjësve të kafeneve.

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Kështu, intervali i besimit 95% për numrin mesatar të punonjësve të kafeneve shkonte nga 9.6 në 11.4.

Shembulli 2 Për një mostër të rastësishme nga një popullatë e përgjithshme prej 64 vëzhgimesh, u llogaritën vlerat totale të mëposhtme:

shuma e vlerave në vëzhgimet,

shuma e katrorëve të devijimit të vlerave nga mesatarja .

Llogaritni intervalin e besimit 95% për pritjen.

llogarisni devijimin standard:

,

llogarit vlerën mesatare:

.

Zëvendësoni vlerat në shprehje për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Marrim:

Kështu, intervali i besimit 95% për pritshmërinë matematikore të këtij kampioni shkonte nga 7.484 në 11.266.

Shembulli 3 Për një mostër të rastësishme nga një popullatë e përgjithshme prej 100 vëzhgimesh, u llogarit një mesatare prej 15.2 dhe një devijim standard prej 3.2. Llogaritni intervalin e besimit 95% për pritjen, pastaj intervalin e besimit 99%. Nëse madhësia e mostrës dhe ndryshimi i saj mbeten të pandryshuara, por koeficienti i besimit rritet, a do të ngushtohet apo zgjerohet intervali i besimit?

Zëvendësoni këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 95% për mesataren e këtij kampioni shkonte nga 14.57 në 15.82.

Ne i zëvendësojmë përsëri këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,01 .

Marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 99% për mesataren e këtij kampioni shkonte nga 14.37 në 16.02.

Siç mund ta shihni, me një rritje të koeficientit të besimit, vlera kritike e shpërndarjes normale standarde gjithashtu rritet, dhe, prandaj, pikat e fillimit dhe të përfundimit të intervalit janë të vendosura më larg nga mesatarja, dhe, kështu, intervali i besimit sepse pritshmëria matematikore rritet.

Vlerësimet e pikave dhe intervalit të gravitetit specifik

Pesha specifike e disa veçorive të mostrës mund të interpretohet si një vlerësim pikë i peshës specifike fq e njëjta veçori në popullatën e përgjithshme. Nëse kjo vlerë duhet të lidhet me probabilitetin, atëherë duhet të llogaritet intervali i besimit të gravitetit specifik fq tipar në popullatën e përgjithshme me një probabilitet P = 1 - α :

.

Shembulli 4 Ka dy kandidatë në një qytet A dhe B kandidojë për kryetar komune. 200 banorë të qytetit u intervistuan rastësisht, nga të cilët 46% u përgjigjën se do të votonin për kandidatin A, 26% - për kandidatin B dhe 28% nuk ​​e dinë për kë do të votojnë. Përcaktoni intervalin e besimit 95% për përqindjen e banorëve të qytetit që mbështesin kandidatin A.

Konstantin Krawchik shpjegon qartë se çfarë është një interval besimi në hulumtimet mjekësore dhe si ta përdorim atë.

Katren-Stil vazhdon të botojë një cikël nga Konstantin Kravchik në lidhje me statistikat mjekësore. Në dy artikujt e mëparshëm, autori është marrë me shpjegimin e koncepteve të tilla si dhe.

Konstantin Kravchik

Matematikan analitik. Specialist në Kërkimet Statistikore në Mjekësi dhe Shkenca Humane

Qyteti i Moskës

Shumë shpesh në artikujt mbi provat klinike mund të gjeni një frazë misterioze: "interval besimi" (95% CI ose 95% CI - interval besimi). Për shembull, artikulli mund të lexojë: "Për të vlerësuar rëndësinë e dallimeve, testi t i Studentit u përdor me llogaritjen e një intervali besimi 95%."

Cila është vlera e "intervalit të besimit 95%" dhe pse ta llogarisni atë?

Çfarë është një Interval Besimi? - Ky është diapazoni në të cilin gjenden mjetet e vërteta në popullatë. Dhe çfarë, ka vlera mesatare "të pavërteta"? Në një kuptim, po, ka. Në shpjeguam se është e pamundur të matësh parametrin e interesit në të gjithë popullatën, kështu që studiuesit janë të kënaqur me një mostër të kufizuar. Në këtë mostër (për shembull, sipas peshës trupore) ekziston një vlerë mesatare (një peshë e caktuar), me anë të së cilës ne gjykojmë vlerën mesatare në të gjithë popullatën e përgjithshme. Sidoqoftë, pesha mesatare në mostër (veçanërisht e vogël) nuk ka gjasa të përkojë me peshën mesatare në popullatën e përgjithshme. Prandaj, është më e saktë të llogaritet dhe të përdoret diapazoni i vlerave mesatare të popullsisë së përgjithshme.

Për shembull, imagjinoni që 95% CI (95% CI) për hemoglobinën është 110 deri në 122 g / L. Kjo do të thotë që me një probabilitet prej 95%, vlera mesatare e vërtetë e hemoglobinës në popullatën e përgjithshme do të jetë në intervalin nga 110 në 122 g / l. Me fjalë të tjera, ne nuk e dimë hemoglobinën mesatare në popullatën e përgjithshme, por me një probabilitet 95% ne mund të tregojmë gamën e vlerave për këtë tipar.

Intervali i besimit është veçanërisht i rëndësishëm për ndryshimin në mjetet midis grupeve, ose, siç quhet, madhësia e efektit.

Le të themi se po krahasonim efektivitetin e dy preparateve të hekurit: një që ka qenë në treg për një kohë të gjatë dhe një që sapo është regjistruar. Pas rrjedhës së terapisë, përqendrimi i hemoglobinës në grupet e studiuara të pacientëve u vlerësua, dhe programi statistikor llogariti se ndryshimi midis vlerave mesatare të dy grupeve me një probabilitet 95% është në intervalin nga 1.72 në 14.36 g / l (Tabela 1).

Skedë 1. Kriteri për mostrat e pavarura
(krahaso grupet sipas nivelit të hemoglobinës)

Kjo duhet të interpretohet si më poshtë: në disa nga pacientët e popullatës së përgjithshme që marrin ilaçin e ri, hemoglobina do të jetë mesatarisht më e lartë me 1.72-14.36 g / l sesa në ata që morën ilaçin e njohur tashmë.

Me fjalë të tjera, në popullatën e përgjithshme, ndryshimi në vlerat mesatare për hemoglobinën në grupe me një probabilitet 95% është brenda këtyre kufijve. I takon studiuesit të gjykojë nëse kjo është shumë apo pak. Qëllimi i gjithë kësaj është se ne po punojmë jo me një vlerë mesatare, por me një sërë vlerash, prandaj, ne vlerësojmë më me besueshmëri ndryshimin në parametër midis grupeve.

Në paketat statistikore, sipas gjykimit të studiuesit, ju mund të ngushtoni ose zgjeroni në mënyrë të pavarur kufijtë e intervalit të besimit. Duke ulur gjasat e intervalit të besimit, ne ngushtojmë gamën e mjeteve. Për shembull, në 90% CI, diapazoni i mjeteve (ose ndryshimi në mjete) do të jetë më i ngushtë sesa në 95%.

Anasjelltas, rritja e probabilitetit në 99% zgjeron gamën e vlerave. Kur krahasojmë grupet, kufiri i poshtëm i CI mund të kalojë kufirin zero. Për shembull, nëse zgjerojmë intervalin e besimit në 99%, atëherë kufijtë e intervalit shkonin nga –1 në 16 g / L. Kjo do të thotë që në popullatën e përgjithshme ka grupe, diferenca mes mesatareve midis të cilave sipas atributit të studiuar është e barabartë me 0 (M = 0).

Duke përdorur intervalin e besimit, mund të testoni hipotezat statistikore. Nëse intervali i besimit kalon vlerën zero, atëherë hipoteza zero, e cila supozon se grupet nuk ndryshojnë në parametrin e studiuar, është e saktë. Një shembull është përshkruar më lart, kur zgjeruam kufijtë në 99%. Diku në popullatën e përgjithshme, ne gjetëm grupe që nuk ndryshonin në asnjë mënyrë.

95% interval besimi i diferencës në hemoglobinë, (g / l)

Linja tregon intervalin e besimit 95% për ndryshimin në hemoglobinën mesatare midis dy grupeve. Linja kalon shenjën zero, prandaj, ekziston një ndryshim midis mjeteve të barabarta me zero, gjë që konfirmon hipotezën zero se grupet nuk ndryshojnë. Gama e ndryshimit midis grupeve është nga –2 në 5 g / l, që do të thotë se hemoglobina ose mund të ulet me 2 g / l ose të rritet me 5 g / l.

Intervali i besimit është një metrikë shumë e rëndësishme. Falë tij, ju mund të shihni nëse ndryshimet në grupe ishin vërtet për shkak të ndryshimit në mjete ose për shkak të një mostre të madhe, pasi me një mostër të madhe shanset për të gjetur dallime janë më të mëdha sesa me një të vogël.

Në praktikë, mund të duket kështu. Ne morëm një mostër prej 1000 personash, matëm nivelin e hemoglobinës dhe zbuluam se intervali i besimit për ndryshimin në mesatare ishte nga 1.2 në 1.5 g / L. Niveli i rëndësisë statistikore në këtë rast p

Ne shohim që përqendrimi i hemoglobinës u rrit, por pothuajse në mënyrë të padukshme, prandaj, rëndësia statistikore u shfaq pikërisht për shkak të madhësisë së mostrës.

Intervali i besimit mund të llogaritet jo vetëm për vlerat mesatare, por edhe për proporcionet (dhe raportet e rrezikut). Për shembull, ne jemi të interesuar për intervalin e besimit të proporcioneve të pacientëve që kanë arritur faljen gjatë marrjes së një ilaçi të zhvilluar. Le të supozojmë se 95% CI për proporcione, domethënë për përqindjen e pacientëve të tillë, qëndron në rangun prej 0.60-0.80. Kështu, mund të themi se ilaçi ynë ka një efekt terapeutik nga 60 në 80% të rasteve.