Funksionet kuadratike dhe kubike. Funksionet kuadratike dhe kubike Vizatoni grafikun 4x 2

Seksionet: matematika

Tema:"Paragrafimi i një funksioni katror që përmban një modul".
(Duke përdorur shembullin e grafikut të funksionit y = x 2 - 6x + 3.)

Synimi.

• Hulumtoni vendndodhjen e grafikut të funksionit në planin koordinativ, në varësi të modulit.
• Zhvilloni aftësi në hartimin e një funksioni që përmban një modul.

Gjatë orëve të mësimit.

1. Faza e përditësimit të njohurive.

a) Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

Shembulli 1. Ndërtoni një grafik të funksionit y = x 2 - 6x + 3. Gjeni zerat e funksionit.

Zgjidhje.

2. Koordinatat e kulmit të parabolës: x = - b / 2a = - (-6) / 2 = 3, y (3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A (3; -6).

4. Zerot e funksionit: y (x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 43 = 36 - 12 = 24, D> 0,

x 1,2 = (6 ±) / 2 = 3 ±; B (3 -; 0), C (3 +; 0).

Grafiku në Fig. 1.

Algoritmi për ndërtimin e një grafiku të një funksioni katror.

1. Përcaktoni drejtimin e "degëve" të parabolës.

2. Njehsoni koordinatat e kulmit të parabolës.

3. Shkruani ekuacionin e boshtit të simetrisë.

4. Llogaritni pikë të shumta.

b) Konsideroni ndërtimin e grafikëve të funksioneve lineare që përmbajnë modulin:

1.y = | x |. Grafiku i funksionit në figurën 2.

2.y = | x | + 1. Grafiku i funksionit në figurën 3.

3.y = | x + 1 |. Grafiku i funksionit Figura 4.

Prodhimi.

1. Grafiku i funksionit y = | x | + 1 fitohet nga grafiku i funksionit y = | x | përkthimi paralel me vektorin (0; 1).

2. Grafiku i funksionit y = | x + 1 | përftohet nga grafiku i funksionit y = | x | përkthimi paralel me vektor (-1; 0).

2.Opiratsionno-pjesa ekzekutive.

Fazë punë kërkimore... Punë në grup.

Grupi 1. Ndërtoni grafikët e funksioneve:

a) y = x 2 - 6 | x | + 3,

b) y = | x 2 - 6x + 3 |.

Zgjidhje.

1. Ndërtoni një grafik të funksionit y = x 2 -6x + 3.

2. Paraqitni atë në mënyrë simetrike rreth boshtit Oy.

Grafiku në figurën 5.

b) 1. Ndërtoni një grafik të funksionit y = x 2 - 6x + 3.

2. Paraqitni atë në mënyrë simetrike rreth boshtit Ox.

Grafiku i funksionit në figurën 6.

Prodhimi.

1. Grafiku i funksionit y = f (| x |) përftohet nga grafiku i funksionit y = f (x), duke bërë një hartë në lidhje me boshtin Oy.

2. Grafiku i funksionit y = |f (x) | përftohet nga grafiku i funksionit y = f (x), hartëzimi në lidhje me boshtin Ox.

Grupi 2: Ndërtoni grafikët e funksioneve:

a) y = | x 2 - 6 | x | + 3 |;

b) y = | x 2 - 6x + 3 | - 3.

Zgjidhje.

1. Grafiku i funksionit y = x 2 + 6x + 3 shfaqet në lidhje me boshtin Oy, grafiku i funksionit y = x 2 - 6 | x | + 3.

2. Grafiku që rezulton shfaqet në mënyrë simetrike rreth boshtit Ox.

Grafiku i funksionit në figurën 7.

Prodhimi.

Grafiku i funksionit y = |f (| x |) | përftohet nga grafiku i funksionit y = f (x), me paraqitjen sekuenciale në raport me boshtet e koordinatave.

1. Grafiku i funksionit y = x 2 - 6x + 3 paraqitet në lidhje me boshtin Ox.

2. Grafiku që rezulton transferohet në vektor (0; -3).

Grafiku i funksionit në figurën 8.

Prodhimi. Grafiku i funksionit y = |f (x) | + a fitohet nga grafiku i funksionit y = | f (x) | me përkthim paralel me vektorin (0, a).

Grupi 3: Grafiku i funksionit të vizatimit:

a) y = | x | (x - 6) + 3; b) y = x | x - 6 | + 3.

Zgjidhje.

a) y = | x | (x - 6) + 3, ne kemi një grup sistemesh:

Ndërtojmë një grafik të funksionit y = -x 2 + 6x + 3 në x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.

Grafiku i funksionit në figurën 9.

b) y = x | x - 6 | + 3, ne kemi një grup sistemesh:

Ndërtojmë një grafik të funksionit y = - x 2 + 6x + 3 në x 6.

2. Koordinatat e kulmit të parabolës: x = - b / 2a = 3, y (3) = 1 2, A (3; 12).

3. Ekuacioni i boshtit të simetrisë: x = 3.

4. Disa pikë: y (2) = 11, y (1) = 3; y (-1) = - 4.

Ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 - 6x + 3 në x = 7 y (7) = 10.

Grafiku në Fig. 10.

Prodhimi. Gjatë zgjidhjes së këtij grupi ekuacionesh, është e nevojshme të merren parasysh zerot e moduleve që gjenden në secilin prej ekuacioneve. Më pas ndërtoni një grafik të funksionit në secilin nga intervalet e fituara.

(Kur vizatoheshin këto funksione, secili grup hetoi efektin e modulit në pamjen e grafikut të funksionit dhe nxori përfundimet e duhura.)

Mori një tabelë kryesore për grafikët e funksioneve që përmbajnë një modul.

Tabela për paraqitjen e grafikëve të funksioneve që përmbajnë modulin.

Grupi 4.

Paraqitni funksionin:

a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |;

b) y = | x 2 - 5x | + x - 3.

Zgjidhje.

a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |, kalojmë në grupin e sistemeve:

Ne ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 -6x + 3 në x 3,
atëherë grafiku i funksionit y = x 2 - 4x - 3 për x> 3 përgjatë pikave y (4) = -3, y (5) = 2, y (6) = 9.

Grafiku i funksionit në figurën 11.

b) y = | x 2 - 5x | + x - 3, kalojmë në grupin e sistemeve:

Ne ndërtojmë çdo grafik në intervalin përkatës.

Grafiku i funksionit në figurën 12.

Prodhimi.

Ne zbuluam ndikimin e modulit në çdo term në llojin e grafikut.

Punë e pavarur.

Paraqitni funksionin:

a) y = | x 2 - 5x + | x - 3 ||,

b) y = || x 2 - 5x | + x - 3 |.

Zgjidhje.

Grafikët e mëparshëm shfaqen në lidhje me boshtin Ox.

Grupi 5

Paraqitni funksionin: y = | x - 2 | (| x | - 3) - 3.

Zgjidhje.

Konsideroni zerot e dy moduleve: x = 0, x - 2 = 0. Marrim intervale me shenjë konstante.

Ne kemi një grup sistemesh ekuacionesh:

Ne ndërtojmë një grafik për secilin nga intervalet.

Grafiku në figurën 15.

Prodhimi. Dy modulet në ekuacionet e propozuara e ndërlikuan ndjeshëm ndërtimin e një grafiku të përgjithshëm, të përbërë nga tre grafikë të veçantë.

Nxënësit regjistruan performancat e secilit prej grupeve, shënuan përfundimet e tyre dhe morën pjesë në punë të pavarur.

3. Detyrë në shtëpi.

Ndërtoni grafikët e funksioneve me vendndodhje të ndryshme të moduleve:

1.y = x 2 + 4x + 2;

2.y = - x 2 + 6x - 4.

4. Faza reflektive – vlerësuese.

1. Notat për një mësim përbëhen nga notat:

a) për punë në grup;

b) për punë të pavarur.

2. Cili ishte momenti më interesant në mësim?

3. A janë të vështira detyrat e shtëpisë?

Ndërtimi i funksionit

Ne sjellim në vëmendjen tuaj një shërbim për ndërtimin e grafikëve të funksioneve në internet, të gjitha të drejtat e të cilave i përkasin kompanisë Desmos... Përdorni kolonën e majtë për të futur funksione. Mund ta futni manualisht ose duke përdorur tastierën virtuale në fund të dritares. Për të zmadhuar dritaren me grafikun, mund të fshehni kolonën e majtë dhe tastierën virtuale.

Përfitimet e hartimit në internet

• Shfaqja vizuale e funksioneve të hyrjes
• Ndërtimi i grafikëve shumë kompleks
• Krijimi i grafikëve, i dhënë në mënyrë implicite (për shembull, elipsi x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• Mundësia për të ruajtur grafikët dhe për të marrë një lidhje me to, e cila bëhet e disponueshme për të gjithë në internet
• Kontrolli i shkallës, ngjyra e linjës
• Mundësia e paraqitjes së grafikëve sipas pikave, duke përdorur konstante
• Ndërtimi i njëkohshëm i disa grafikëve të funksioneve
• Vizatimi në koordinata polare (përdor r dhe θ (\ theta))

Është e lehtë të ndërtosh grafikët me kompleksitet të ndryshëm në internet me ne. Ndërtimi bëhet në çast. Shërbimi është i kërkuar për gjetjen e pikave të kryqëzimit të funksioneve, për shfaqjen e grafikëve për lëvizjen e tyre të mëtejshme në një dokument Word si ilustrime gjatë zgjidhjes së problemeve, për analizimin e veçorive të sjelljes së grafikëve të funksionit. Shfletuesi optimal për të punuar me grafikët në këtë faqe të faqes është Google Chrome. Funksionimi nuk është i garantuar me shfletues të tjerë.

Funksioni y = x ^ 2 quhet funksion kuadratik. Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë. Forma e përgjithshme parabola është paraqitur në figurën më poshtë.

Funksioni kuadratik

Fig 1. Pamje e përgjithshme e parabolës

Siç mund ta shihni nga grafiku, ai është simetrik në lidhje me boshtin Oy. Boshti Oy quhet boshti i simetrisë së parabolës. Kjo do të thotë se nëse vizatoni një vijë të drejtë paralele me boshtin Ox mbi këtë bosht. Pastaj do të kalojë parabolën në dy pika. Distanca nga këto pika në boshtin Oy do të jetë e njëjtë.

Boshti i simetrisë e ndan grafikun e parabolës në dy pjesë, si të thuash. Këto pjesë quhen degë të parabolës. Dhe pika e parabolës që shtrihet në boshtin e simetrisë quhet kulm i parabolës. Kjo do të thotë, boshti i simetrisë kalon përmes majës së parabolës. Koordinatat e kësaj pike (0; 0).

Vetitë themelore të një funksioni kuadratik

1. Për x = 0, y = 0 dhe y> 0 për x0

2. Funksioni kuadratik e arrin vlerën minimale në kulmin e tij. Ymin në x = 0; Duhet të theksohet gjithashtu se funksioni nuk ka një vlerë maksimale.

3. Funksioni zvogëlohet në intervalin (-∞; 0] dhe rritet në interval)