Funcții cuadratice și cubice. Funcții cuadratice și cubice Desenați graficul 4x 2
Secțiuni: Matematica
Temă:„Plotarea unei funcții pătrate care conține un modul”.
(Folosind exemplul graficului funcției y = x 2 - 6x + 3.)
Ţintă.
- Investigați locația graficului funcției pe planul de coordonate, în funcție de modul.
- Dezvoltați abilitățile de a reprezenta o funcție care conține un modul.
În timpul orelor.
1. Etapa de actualizare a cunoștințelor.
a) Verificarea temelor.
Exemplul 1. Construiți un grafic al funcției y = x 2 - 6x + 3. Aflați zerourile funcției.
Soluţie.
2. Coordonatele vârfului parabolei: x = - b / 2a = - (-6) / 2 = 3, y (3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A (3; -6).
4. Zerurile funcției: y (x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 43 = 36 - 12 = 24, D> 0,
x 1,2 = (6 ±) / 2 = 3 ±; B (3 -; 0), C (3 +; 0).
Graficul din Fig. 1.
Algoritm pentru trasarea graficului unei funcții pătrate.
1. Determinați direcția „ramurilor” parabolei.
2. Calculați coordonatele vârfului parabolei.
3. Notați ecuația axei de simetrie.
4. Calculați mai multe puncte.
b) Luați în considerare construcția graficelor de funcții liniare care conțin modulul:
1.y = | x |. Graficul funcției din figura 2.
2.y = | x | + 1. Graficul funcției din figura 3.
3.y = | x + 1 |. Graficul funcției Figura 4.
Ieșire.
1. Graficul funcției y = | x | + 1 se obține din graficul funcției y = | x | translație paralelă cu vectorul (0; 1).
2. Graficul funcției y = | x + 1 | se obţine din graficul funcţiei y = | x | translație paralelă prin vector (-1; 0).
2.Opiratsionno-parte executivă.
Etapă muncă de cercetare... Lucru de grup.
Grupa 1. Construiți grafice ale funcțiilor:
a) y = x 2 - 6 | x | + 3,
b) y = | x 2 - 6x + 3 |.
Soluţie.
1. Construiți un grafic al funcției y = x 2 -6x + 3.
2. Afișați-l simetric față de axa Oy.
Graficul din figura 5.
b) 1. Construiți un grafic al funcției y = x 2 - 6x + 3.
2. Afișați-l simetric față de axa Ox.
Graficul funcției din figura 6.
Ieșire.
1. Graficul funcției y = f (| x |) se obține din graficul funcției y = f (x), mapare relativ la axa Oy.
2. Graficul funcției y = | f (x) | se obține din graficul funcției y = f (x), mapare relativ la axa Ox.
Grupa 2: Construiți grafice ale funcțiilor:
a) y = | x 2 - 6 | x | + 3 |;
b) y = | x 2 - 6x + 3 | - 3.
Soluţie.
1. Graficul funcției y = x 2 + 6x + 3 este afișat relativ la axa Oy, graficul funcției y = x 2 - 6 | x | + 3.
2. Graficul rezultat este afișat simetric față de axa Ox.
Graficul funcției din figura 7.
Ieșire.
Graficul funcției y = | f (| x |) | se obtine din graficul functiei y = f (x), prin afisare secventiala fata de axele de coordonate.
1. Graficul funcției y = x 2 - 6x + 3 este afișat în raport cu axa Ox.
2. Graficul rezultat este transferat vectorului (0; -3).
Graficul funcției din figura 8.
Ieșire. Graficul funcției y = | f (x) | + a se obține din graficul funcției y = | f (x) | prin translație paralelă la vectorul (0, a).
Grupa 3: Trasează graficul unei funcții:
a) y = | x | (x - 6) + 3; b) y = x | x - 6 | + 3.
Soluţie.
a) y = | x | (x - 6) + 3, avem un set de sisteme:
Construim un grafic al funcției y = -x 2 + 6x + 3 la x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.
Graficul funcției din figura 9.
b) y = x | x - 6 | + 3, avem un set de sisteme:
Construim un grafic al funcției y = - x 2 + 6x + 3 la x 6.
2. Coordonatele vârfului parabolei: x = - b / 2a = 3, y (3) = 1 2, A (3; 12).
3. Ecuația axei de simetrie: x = 3.
4. Mai multe puncte: y (2) = 11, y (1) = 3; y (-1) = - 4.
Construim un grafic al funcției y = x 2 - 6x + 3 la x = 7 y (7) = 10.
Graficul din Fig. 10.
Ieșire. La rezolvarea acestui grup de ecuații, este necesar să se ia în considerare zerourile modulelor conținute în fiecare dintre ecuații. Apoi construiți un grafic al funcției pe fiecare dintre intervalele obținute.
(La reprezentarea grafică a acestor funcții, fiecare grup a investigat efectul modulului asupra aspectului graficului funcției și a făcut concluziile adecvate.)
Am un tabel pivot pentru graficele funcțiilor care conțin un modul.
Tabel pentru trasarea graficelor funcțiilor care conțin modulul.
Grupa 4.
Trasează funcția:
a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |;
b) y = | x 2 - 5x | + x - 3.
Soluţie.
a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |, trecem la multimea sistemelor:
Construim un grafic al funcției y = x 2 -6x + 3 la x 3,
apoi graficul funcției y = x 2 - 4x - 3 pentru x> 3 de-a lungul punctelor y (4) = -3, y (5) = 2, y (6) = 9.
Graficul funcției din Figura 11.
b) y = | x 2 - 5x | + x - 3, trecem la multimea de sisteme:
Construim fiecare grafic pe intervalul corespunzător.
Graficul funcției din Figura 12.
Ieșire.
Am aflat influența modulului în fiecare termen asupra tipului de grafic.
Muncă independentă.
Trasează funcția:
a) y = | x 2 - 5x + | x - 3 ||,
b) y = || x 2 - 5x | + x - 3 |.
Soluţie.
Graficele anterioare sunt afișate în raport cu axa Ox.
Grupa 5
Trasează funcția: y = | x - 2 | (| x | - 3) - 3.
Soluţie.
Se consideră zerourile a două module: x = 0, x - 2 = 0. Obținem intervale de semn constant.
Avem un set de sisteme de ecuații:
Construim un grafic pentru fiecare dintre intervale.
Graficul din figura 15.
Ieșire. Cele două module din ecuațiile propuse au făcut mult mai dificilă construirea unui grafic general format din trei grafice separate.
Elevii au înregistrat performanțele fiecăruia dintre grupuri, și-au notat concluziile și au participat la lucrări independente.
3. Sarcina la domiciliu.
Construiți grafice ale funcțiilor cu diferite locații ale modulelor:
1.y = x 2 + 4x + 2;
2.y = - x 2 + 6x - 4.
4. Etapa reflexivă – evaluativă.
1. Notele pentru o lecție sunt formate din note:
a) pentru munca în grup;
b) pentru muncă independentă.
2. Care a fost cel mai interesant moment din lecție?
3. Vă sunt temele dificile?
Funcția de construire
Vă aducem la cunoștință un serviciu de construcție de grafice de funcții online, toate drepturile la care aparțin companiei Desmos... Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Îl puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.
Beneficiile cartografierii online
- Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
- Construirea de grafice foarte complexe
- Crearea de grafice, date implicit (de exemplu, elipsa x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
- Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea de pe Internet
- Controlul scării, culoarea liniei
- Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
- Construirea simultană a mai multor grafice de funcții
- Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ (\ theta))
Este ușor să construiți grafice de complexitate variată online cu noi. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru afișarea graficelor pentru deplasarea lor ulterioară într-un document Word ca ilustrații la rezolvarea problemelor, pentru analizarea caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Funcționarea nu este garantată cu alte browsere.
Funcția y = x ^ 2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Forma generală parabola este prezentată în figura de mai jos.
Funcția cuadratică
Fig 1. Vedere generală a parabolei
După cum puteți vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va traversa parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.
Axa de simetrie împarte graficul parabolei în două părți, parcă. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul parabolei care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct (0; 0).
Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice
1. Pentru x = 0, y = 0 și y> 0 pentru x0
2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x = 0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.
3. Funcția scade în interval (-∞; 0] și crește în interval)
