Kvadratinės ir kubinės funkcijos. Kvadratinės ir kubinės funkcijos Nubrėžkite 4x2 diagramą
Skyriai: Matematika
Tema:„Kvadratinės funkcijos, kurioje yra modulis, braižymas“.
(Naudojant funkcijos y = x 2 - 6x + 3 grafiko pavyzdį.)
Tikslas.
- Ištirkite funkcijos grafiko vietą koordinačių plokštumoje, priklausomai nuo modulio.
- Ugdykite įgūdžius braižyti funkciją, kurioje yra modulis.
Per užsiėmimus.
1. Žinių atnaujinimo etapas.
a) Namų darbų tikrinimas.
1 pavyzdys. Sudarykite funkcijos y = x 2 - 6x + 3 grafiką. Raskite funkcijos nulius.
Sprendimas.
2. Parabolės viršūnės koordinatės: x = - b / 2a = - (-6) / 2 = 3, y (3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A (3; -6).
4. Funkcijos nuliai: y (x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 43 = 36 - 12 = 24, D> 0,
x 1,2 = (6 ±) / 2 = 3 ±; B (3 -; 0), C (3 +; 0).
Grafikas 1 pav.
Kvadratinės funkcijos grafiko sudarymo algoritmas.
1. Nustatykite parabolės „šakų“ kryptį.
2. Apskaičiuokite parabolės viršūnės koordinates.
3. Užrašykite simetrijos ašies lygtį.
4. Apskaičiuokite kelis taškus.
b) Apsvarstykite tiesinių funkcijų, turinčių modulį, grafikus:
1.y = | x |. Funkcijų grafikas 2 paveiksle.
2.y = | x | + 1. Funkcijos grafikas 3 paveiksle.
3.y = | x + 1 |. Funkcijų grafikas 4 pav.
Išvestis.
1. Funkcijos y = |x | grafikas + 1 gaunamas iš funkcijos y = | x | grafiko lygiagretus vertimas į vektorių (0; 1).
2. Funkcijos y = |x + 1 | grafikas gaunamas iš funkcijos y = | x | grafiko lygiagretus vertimas pagal vektorių (-1; 0).
2.Opiratsionno-vykdomoji dalis.
Scena tiriamasis darbas... Grupinis darbas.
1 grupė. Sudarykite funkcijų grafikus:
a) y = x 2 - 6 | x | + 3,
b) y = | x 2 - 6x + 3 |.
Sprendimas.
1. Sudarykite funkcijos y = x 2 -6x + 3 grafiką.
2. Parodykite jį simetriškai Oy ašies atžvilgiu.
Grafikas 5 paveiksle.
b) 1. Sudarykite funkcijos y = x 2 - 6x + 3 grafiką.
2. Parodykite jį simetriškai apie Ox ašį.
Funkcijų grafikas 6 paveiksle.
Išvestis.
1. Funkcijos y = f (| x |) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f (x) grafiko, atvaizduojant ašies Oy atžvilgiu.
2. Funkcijos y = |f (x) | grafikas gaunamas iš funkcijos y = f (x) grafiko, atvaizdavimo Ox ašies atžvilgiu.
2 grupė. Kurkite funkcijų grafikus:
a) y = | x 2 - 6 | x | + 3 |;
b) y = | x 2 - 6x + 3 | – 3.
Sprendimas.
1. Funkcijos y = x 2 + 6x + 3 grafikas rodomas Oy ašies atžvilgiu, funkcijos y = x 2 - 6 grafikas x | + 3.
2. Gautas grafikas rodomas simetriškai aplink Ox ašį.
Funkcijų grafikas 7 pav.
Išvestis.
Funkcijos y = | f (| x |) | grafikas gaunamas iš funkcijos y = f (x) grafiko, nuosekliai rodant koordinačių ašių atžvilgiu.
1. Funkcijos y = x 2 - 6x + 3 grafikas rodomas Ox ašies atžvilgiu.
2. Gautas grafikas perkeliamas į vektorių (0; -3).
Funkcijų grafikas 8 pav.
Išvestis. Funkcijos y = | f (x) | grafikas + a gaunamas iš funkcijos y = | f (x) | grafiko lygiagrečiai perkeliant į vektorių (0, a).
3 grupė: Nubrėžkite funkcijų grafiką:
a) y = | x | (x - 6) + 3; b) y = x | x - 6 | + 3.
Sprendimas.
a) y = | x | (x - 6) + 3, turime sistemų rinkinį:
Sudarome funkcijos y = -x 2 + 6x + 3 grafiką ties x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.
Funkcijų grafikas 9 pav.
b) y = x | x - 6 | + 3, mes turime sistemų rinkinį:
Sudarome funkcijos y = - x 2 + 6x + 3 grafiką ties x 6.
2. Parabolės viršūnės koordinatės: x = - b / 2a = 3, y (3) = 1 2, A (3; 12).
3. Simetrijos ašies lygtis: x = 3.
4. Keli taškai: y (2) = 11, y (1) = 3; y (-1) = -4.
Sudarome funkcijos y = x 2 - 6x + 3 grafiką, kai x = 7 y (7) = 10.
Grafikas 10 pav.
Išvestis. Sprendžiant šią lygčių grupę, būtina atsižvelgti į kiekvienoje lygtyje esančių modulių nulius. Tada sukurkite funkcijos grafiką kiekviename gautame intervale.
(Brėždama šias funkcijas kiekviena grupė ištyrė modulio poveikį funkcijų grafiko išvaizdai ir padarė atitinkamas išvadas.)
Turiu funkcijų, kuriose yra modulis, grafikų sukimosi lentelę.
Lentelė funkcijų, kuriose yra modulis, grafikų braižymui.
4 grupė.
Nubraižykite funkcijos grafiką:
a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |;
b) y = | x 2 - 5x | + x - 3.
Sprendimas.
a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |, pereiname prie sistemų aibės:
Sudarome funkcijos y = x 2 -6x + 3 grafiką ties x 3,
tada funkcijos y = x 2 - 4x - 3 grafikas, kai x> 3 išilgai taškų y (4) = -3, y (5) = 2, y (6) = 9.
Funkcijų grafikas 11 paveiksle.
b) y = | x 2 - 5x | + x - 3, pereiname prie sistemų rinkinio:
Kiekvieną grafiką sudarome atitinkamame intervale.
Funkcijų grafikas 12 paveiksle.
Išvestis.
Išsiaiškinome kiekvieno termino modulio įtaką grafiko tipui.
Savarankiškas darbas.
Nubraižykite funkcijos grafiką:
a) y = | x 2 - 5x + | x - 3 ||,
b) y = || x 2 - 5x | + x - 3 |.
Sprendimas.
Ankstesnės diagramos rodomos Ox ašies atžvilgiu.
5 grupė
Nubraižykite funkciją: y = | x - 2 | (| x | – 3) – 3.
Sprendimas.
Apsvarstykite dviejų modulių nulius: x = 0, x - 2 = 0. Gauname pastovaus ženklo intervalus.
Turime lygčių sistemų rinkinį:
Sudarome kiekvieno intervalo grafiką.
Grafikas 15 paveiksle.
Išvestis. Du siūlomų lygčių moduliai labai apsunkino bendro grafiko, susidedančio iš trijų atskirų grafikų, kūrimą.
Mokiniai fiksavo kiekvienos grupės pasirodymus, surašė išvadas, dalyvavo savarankiškame darbe.
3. Užduotis namuose.
Sukurkite funkcijų grafikus su skirtingomis modulių vietomis:
1.y = x 2 + 4x + 2;
2.y = - x 2 + 6x - 4.
4. Reflektyvioji – vertinamoji stadija.
1. Pamokos pažymiai susideda iš pažymių:
a) darbui grupėje;
b) savarankiškam darbui.
2. Koks buvo įdomiausias pamokos momentas?
3. Ar jūsų namų darbai sunkūs?
Sukūrimo funkcija
Atkreipiame jūsų dėmesį į funkcijų diagramų braižymo internetu paslaugą, į kurią visos teisės priklauso įmonei Desmos... Norėdami įvesti funkcijas, naudokite kairįjį stulpelį. Jį galite įvesti rankiniu būdu arba naudodami virtualią klaviatūrą lango apačioje. Norėdami padidinti langą su grafiku, galite paslėpti ir kairįjį stulpelį, ir virtualiąją klaviatūrą.
Diagramų sudarymo internete pranašumai
- Vizualus įvestų funkcijų rodymas
- Labai sudėtingų grafikų kūrimas
- Netiesiogiai pateiktų grafikų kūrimas (pvz., elipsė x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
- Galimybė išsaugoti diagramas ir gauti nuorodą į jas, kuri tampa prieinama visiems internete
- Mastelio valdymas, linijos spalva
- Galimybė braižyti grafikus taškais, naudojant konstantas
- Kelių funkcijų grafikų konstravimas vienu metu
- Braižymas polinėmis koordinatėmis (naudokite r ir θ (\ theta))
Su mumis lengva sudaryti įvairaus sudėtingumo diagramas internete. Statyba atliekama akimirksniu. Paslauga yra paklausi ieškant funkcijų susikirtimo taškų, atvaizduojant grafikus tolimesniam jų judėjimui Word dokumente kaip iliustracijas sprendžiant uždavinius, analizuojant funkcijų grafikų elgsenos ypatybes. Optimali naršyklė darbui su diagramomis šiame svetainės puslapyje yra „Google Chrome“. Veikimas su kitomis naršyklėmis negarantuojamas.
Funkcija y = x ^ 2 vadinama kvadratine funkcija. Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Bendra forma parabolė parodyta paveikslėlyje žemiau.
Kvadratinė funkcija
1 pav. Bendras parabolės vaizdas
Kaip matote iš grafiko, jis yra simetriškas Oy ašiai. Ašis Oy vadinama parabolės simetrijos ašimi. Tai reiškia, kad jei virš šios ašies nubrėžiate tiesią liniją, lygiagrečią Ox ašiai. Tada jis kirs parabolę dviejuose taškuose. Atstumas nuo šių taškų iki Oy ašies bus toks pat.
Simetrijos ašis tarsi padalija parabolės grafiką į dvi dalis. Šios dalys vadinamos parabolės šakomis. O parabolės taškas, esantis ant simetrijos ašies, vadinamas parabolės viršūne. Tai yra, simetrijos ašis eina per parabolės viršūnę. Šio taško koordinatės (0; 0).
Pagrindinės kvadratinės funkcijos savybės
1. Jei x = 0, y = 0 ir y> 0, kai x0
2. Kvadratinė funkcija pasiekia mažiausią reikšmę savo viršūnėje. Ymin, kai x = 0; Taip pat reikėtų pažymėti, kad funkcija neturi didžiausios vertės.
3. Funkcija mažėja intervale (-∞; 0] ir didėja intervale)
