Ettekanne teemal "Kompleksarvude ajalugu". Ettekanne teemal kompleksarvud Kompleksarvude esitlus Tehnikum 1. kursus

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Keerulised numbrid

Pärast teema „Kompleksarvud“ läbimist peaksid õpilased: teadma: kompleksarvu algebralisi, geomeetrilisi ja trigonomeetrilisi vorme. Oskab: sooritada liitmise, korrutamise, lahutamise, jagamise, astendamise tehteid kompleksarvudega, kompleksarvu juure eraldamist; teisendada kompleksarvud algebralistest geomeetrilisteks ja trigonomeetrilisteks vormideks; kasutada kompleksarvude geomeetrilist tõlgendamist; lihtsamatel juhtudel leidke reaalkoefitsientidega võrrandite keerulised juured.

Milliseid numbrikomplekte tunnete? N Z Q R I . Ettevalmistus uue materjali õppimiseks

Arvusüsteem Kehtivad algebralised tehted Osaliselt kehtivad algebralised tehted Naturaalarvud, N täisarvu, Z Ratsionaalarvud, Q Reaalarvud, R Liitmine, korrutamine Lahutamine, jagamine, juurdumine Liitmine, lahutamine, korrutamine Jagamine, juurdumine Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine Juurte eraldamine mittenegatiivsed arvud Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, juurte võtmine mittenegatiivsetest arvudest Juurte eraldamine suvalistest arvudest Kompleksarvud, C Kõik toimingud

Miinimumtingimused, millele kompleksarvud peavad vastama: C 1) On ruutjuur, s.o. on kompleksarv, mille ruut on võrdne. C 2) Kompleksarvude hulk sisaldab kõiki reaalarve. C 3) Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise tehted vastavad tavalistele aritmeetiliste tehtete seadustele (kombinatiivne, kommutatiivne, distributiivne). Nende miinimumtingimuste täitmine võimaldab meil määrata kogu kompleksarvude hulga C.

Imaginaararvud i = - 1, i – imaginaarne ühik i, 2 i, -0,3 i – puhtimaginaararvud Aritmeetilised toimingud puhtimaginaararvudega tehakse vastavalt tingimusele C3. kus a ja b on reaalarvud. IN üldine vaade Puhtalt imaginaarsete arvudega aritmeetiliste toimingute reeglid on järgmised:

Kompleksarvud Definitsioon 1. Kompleksarv on reaalarvu ja puhtalt imaginaararvu summa. Definitsioon 2. Kaht kompleksarvu nimetatakse võrdseks, kui nende reaalosad on võrdsed ja mõttelised osad on võrdsed:

Kompleksarvude klassifikatsioon Kompleksarvud a + bi Reaalarvud b = o Imaginaararvud b ≠ o Ratsionaalarvud Irratsionaalarvud Nullist erineva reaalosaga kujuteldavad arvud a ≠ 0, b ≠ 0. Puhtad imaginaararvud a = 0, b ≠ 0.

Aritmeetilised tehted kompleksarvudega (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Kompleksarvude konjugeerimine Definitsioon: Kui jätate kompleksarvu reaalosa alles ja muudate imaginaarse osa märki, saate kompleksarvu, mis on konjugeeritud antud arvuga. Kui antud kompleksarv on tähistatud tähega z, siis konjugaatarvu tähistatakse: :. Kõigist kompleksarvudest on reaalarvud (ja ainult need) võrdsed nende konjugaatarvudega. Arve a + bi ja a - bi nimetatakse vastastikku konjugeeritud kompleksarvudeks.

Konjugaatarvude omadused Kahe konjugaatarvu summa ja korrutis on reaalarv. Kahe kompleksarvu summa konjugaat on võrdne nende arvude konjugaatide summaga. Kahe kompleksarvu erinevuse konjugaat on võrdne nende arvude konjugaatide erinevusega. Kahe kompleksarvu korrutise konjugaat võrdub nende arvude konjugaatide korrutisega.

Konjugeeritud arvude omadused Kompleksarvu z n-nda astmega konjugeeritud arv võrdub arvuga z konjugeeritud arvu p-astmega, s.o. Kahe kompleksarvu, mille jagaja on nullist erinev, jagatise konjugeeritud arv on võrdne konjugaatarvude jagatisega, s.o.

Kujutise ühiku astmed Definitsiooni järgi on arvu i esimene aste arv i ise ja teine ​​aste on arv -1: . Arvu i suuremad astmed leitakse järgmiselt: i 4 = i 3 ∙ i = -∙ i 2 = 1; i 5 = i 4 ∙ i = i ; i 6 = i 5 ∙ i = i 2 = - 1 jne. i 1 = i, i 2 = -1 Ilmselgelt on iga naturaalarvu n i 4n = 1 korral; i 4n+1 = i ; i 4n +2 = - 1 i 4n + 3 = - i .

Kompleksarvude ruutjuurte eraldamine algebralisel kujul. Definitsioon. Arvu w nimetatakse kompleksarvu z ruutjuureks, kui selle ruut on võrdne z-ga: Teoreem. Olgu z=a+bi nullist erinev kompleksarv. Siis on kaks vastastikku vastandlikku kompleksarvu, mille ruudud on võrdsed z-ga. Kui b ≠0, väljendatakse need kaks arvu valemiga:

Kompleksarvude geomeetriline esitus. Kompleksarv z koordinaattasandil vastab punktile M(a, b). Tihti võetakse tasapinna punktide asemel nende raadiusvektorid Definitsioon: Kompleksarvu moodul z = a + bi on mittenegatiivne arv, mis on võrdne kaugusega punktist M lähtepunktini b a M (a, b ) y x O φ

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju, kus φ on kompleksarvu argument, r = kompleksarvu moodul,

Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamine ja jagamine 1. teoreem. Kui ja siis: b) a) Lause 2 (Moivre’i valem). Olgu z mis tahes nullist erinev kompleksarv, n suvaline täisarv. Siis

Kompleksarvu juure eraldamine. Teoreem. Iga naturaalarvu n ja nullist erineva kompleksarvu z korral on n-kraadijuurel n erinevat väärtust. Kui

Kompleksarvud Kompleksarvud ja tehted nendega.

Arvsüsteem Lubatavad algebratehted Osaliselt lubatavad algebratehted. Naturaalarvud, N Liitmine, korrutamine Lahutamine, jagamine, juurte eraldamine. Kuid teisest küljest pole võrrandi juured N täisarvus, Z liitmises, lahutamises, korrutamises. Jagamine, juurte ekstraheerimine. Kuid teisest küljest pole võrrandil Z Ratsionaalarvude juured, Q Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine. Juurte eraldamine mittenegatiivsetest arvudest. Kuid teisest küljest pole võrrandi juured Q Reaalarvudes, R liitmises, lahutamises, korrutamises, jagamises, mittenegatiivsete arvude juurte võtmises. Juurte eraldamine suvalistest arvudest. Kuid teisest küljest pole võrrandi juured R kompleksarvudes, C Kõik tehted

TINGIMUSED, millele kompleksarvud peavad täitma... 1. On olemas kompleksarv, mille ruut on -1 2. Kompleksarvude hulk sisaldab kõiki reaalarvusid. 3. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise toimingud vastavad tavapärasele aritmeetiliste toimingute seadusele (kombinatiivne, kommutatiivne, distributiivne)

Kompleksarvu tüüp Üldjuhul on puhtimaginaarsete arvudega aritmeetiliste tehtete reeglid järgmised: ai+bi =(a+b) i ; ai -bi=(a-b) i; a(bi)=(ab)i; (ai)(bi)=abi²=- ab (a ja b on reaalarvud) i²= -1, i - imaginaarne ühik

Definitsioonid Definitsioon nr 1 Kompleksarv on reaalarvu ja puhtalt imaginaararvu summa. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i – imaginaarühik. Märgistuses z = a+bi nimetatakse arvu a kompleksarvu z reaalosaks ja arvu b kompleksarvu z imaginaarseks osaks. Definitsioon nr 2 Kahte kompleksarvu nimetatakse võrdseks, kui nende reaalosad on võrdsed ja mõttelised osad on võrdsed. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Definitsioon nr 3 Kui jätta kompleksarvu reaalosa alles ja muuta imaginaarosa märki, saadakse kompleksarv, mis on konjugeeritud antud arvuga. Z=X+YI X - YI

Valemid Kompleksarvude summa: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) kompleksarvud : z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) Kompleksarvude korrutis: (a+bi)(c+di)= i (ac- bd) )+( bc+ad) Kahe kompleksarvu jagatise valem: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 Omadused Omadus 1 Kui z = x + yi, siis z*z = x ² + y ² z 1 Nii murdosa lugeja kui ka nimetaja tuleks korrutada nimetajaga konjugeeritud arvuga. Omadus 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 s.t. arv, mis on konjugeeritud kahe kompleksarvu summaga, on võrdne nende arvude konjugaatide summaga. Omadus 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, s.o. kahe kompleksarvu erinevuse konjugaat on võrdne nende arvude konjugaatide erinevusega.

Omadus 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 st arvukonjugaat kahe kompleksarvu korrutisega võrdub nende arvude konjugaatide korrutisega. Teisest küljest Z 1= a-bi, c-di, mis tähendab Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) Atribuut 5 Omadus 6

Kompleksarvu geomeetriline tõlgendamine. Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Kompleksarvude liitmine ja korrutamine. Algebraline vorm Geomeetriline vorm Korrutis Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 · Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1) + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] korrutis (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Sum (A+iB) + (C+iD) )= (A+C)+(B+D)I

Moivre'i valem Mis tahes Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 ja naturaalarvu n korral

Gaussi teoreem: igal algebralisel võrrandil on kompleksarvude hulgas vähemalt üks juur. Moivre'i teine ​​valem määrab kõik n-astme binoomvõrrandi juured

Täname tähelepanu eest! Ettekande tegi MOAU “Gümnaasium nr 7” 10.a klassi õpilane Orenburg Elimova Maria.

1,85  -2  0,8 Arvude maailm on lõpmatu.  Esimesed ettekujutused arvu kohta tekkisid objektide loendamisest (1, 2, 3 jne) - LOODUSLIKUD NUMBRID.  Seejärel tekkisid MURUd pikkuse, kaalu jne mõõtmise tulemusena (jne)  NEGATIIVSED ARVUD, mis ilmnesid algebra Täisarvude (st naturaalarvud 1, 2, 3 jne) arenedes, negatiivsed arvud (-1, -2, -3 jne ja null), nimetatakse murde RATSIOONIARVUKS. ,  Ratsionaalarvud ei saa täpselt väljendada ruudu diagonaali pikkust, kui külje pikkus on võrdne mõõtühikuga. Võrreldamatute segmentide seose täpseks väljendamiseks tuleb sisestada uus arv:  IRRATSIOONNE (jne) Ratsionaalne ja irratsionaalne – moodustavad hulga: Reaalarvud. Reaalarvude käsitlemisel märgiti, et reaalarvude hulgast on näiteks võimatu leida arvu, mille ruut on võrdne. Negatiivsete diskriminantidega ruutvõrrandite käsitlemisel märgiti ka, et sellistel võrranditel ei ole reaalarvude juuri. Selliste ülesannete lahendamiseks võetakse kasutusele uued arvud - Kompleksarvud Kompleksarvud 2 = -1 3 = - = 4 =1 b - Imaginaararvud a + b - Kompleksarvud a, b - Suvalised reaalarvud Kompleksarvude minevik ja olevik. Keerulised arvud tekkisid matemaatikas enam kui 400 aastat tagasi. Esimest korda kohtasime negatiivsete arvude ruutjuuri. Keegi ei teadnud, mis see väljend on, mis tähendust sellele anda. Mistahes negatiivse arvu ruutjuurel pole reaalarvude hulgas mingit tähendust. Seda kohtab ruut-, kuup- ja neljanda astme võrrandite lahendamisel. MATEMAATIKA USUTAMINE: LEONARD EULER Negatiivsete arvude ruutjuuri – kuna need ei ole suuremad, mitte väiksemad ega võrdsed nulliga – ei saa võimalike arvude hulka arvata. Gottfried William Leibnets Gottfried Leibnets nimetas keerulisi numbreid "jumaliku vaimu elegantseks ja imeliseks varjupaigaks", ideedemaailma degeneratsiooniks, peaaegu kahesuguseks olendiks, mis paikneb olemise ja mitteolemise vahel. Ta pärandas isegi joonistada oma hauale märgi teispoolsuse sümbolina. K. Gauss tegi 19. sajandi alguses ettepaneku nimetada neid "keerulisteks numbriteks". K. F. Gauss Kompleksarvude vormid: Z=a+bi – algebraline kuju Z=r() – trigonomeetriline Z=rE - eksponentsiaalne Kompleksarvud on kasutusel:  Geograafiliste kaartide koostamisel  Lennukiehituse teoorias  Kasutatakse erinevates uuringutes arvuteooriast  Elektromehaanikas  Looduslike ja tehislike taevakehade liikumise uurimisel jne Ja ettekande lõpus pakkumine Lahenda ristsõna “Pane ennast proovile” 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Mis on vormi numbri nimetus Z=a+bc? 2. Millise kujuteldava ühiku astmeni see saadakse? 3.Kuidas nimetatakse numbreid, mis erinevad ainult mõttelise osa märgi poolest?4. Vektori pikkus. 5. Nurk, mille all vektor asub. 6. Milline on kompleksarvu kuju: Z=r(cos +sin)? 7. Millise kujuga on kompleksarv Z=re? 8. Vaade D=b -4ac, mis on D?

Olles tutvunud teemaga “Keerulised numbrid
õpilased peavad:
Tea:
algebralised, geomeetrilised ja trigonomeetrilised vormid
kompleksarv.
Suuda:
teha kompleksarvude liitmise tehteid,
korrutamine, lahutamine, jagamine, astendamine, ekstraheerimine
kompleksarvu juur;
teisendada kompleksarvud algebralisest vormist teiseks
geomeetriline ja trigonomeetriline;
kasutada kompleksarvude geomeetrilist tõlgendamist;
lihtsamatel juhtudel leidke võrrandite keerulised juured
tegelikud koefitsiendid.

Milliseid numbrikomplekte tunnete?

Väljamõeldud numbrid

Kompleksarvud

Kompleksarvude klassifikatsioon

Aritmeetilised toimingud kompleksarvudega

Kompleksarvude konjugeerimine

Konjugeeritud arvude omadused

Konjugeeritud arvude omadused

Kujutise ühiku võimsused

Kompleksarvude ruutjuurte eraldamine algebralisel kujul.

Kompleksarvude geomeetriline esitus.

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamine ja jagamine

Kompleksarvu juure eraldamine.