Quadratische und kubische Funktionen. Quadratische und kubische Funktionen zeichnen 4x 2 Graphen
Abschnitte: Mathe
Thema:„Aufzeichnen einer quadratischen Funktion, die ein Modul enthält“.
(Am Beispiel des Graphen der Funktion y = x 2 - 6x + 3.)
Ziel.
- Untersuchen Sie die Lage des Funktionsgraphen auf der Koordinatenebene, je nach Modul.
- Entwickeln Sie Fähigkeiten zum Zeichnen einer Funktion, die ein Modul enthält.
Während der Klassen.
1. Die Phase der Aktualisierung des Wissens.
a) Hausaufgaben überprüfen.
Beispiel 1. Erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = x 2 - 6x + 3. Finden Sie die Nullstellen der Funktion.
Lösung.
2. Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel: x = - b / 2a = - (-6) / 2 = 3, y (3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A (3; -6).
4. Nullstellen der Funktion: y (x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 43 = 36 - 12 = 24, D> 0,
x 1,2 = (6 ±) / 2 = 3 ±; B (3 -; 0), C (3 +; 0).
Diagramm in Abb. 1.
Algorithmus zum Konstruieren eines Graphen einer Quadratfunktion.
1. Bestimmen Sie die Richtung der "Äste" der Parabel.
2. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel.
3. Schreiben Sie die Gleichung der Symmetrieachse auf.
4. Berechnen Sie mehrere Punkte.
b) Betrachten Sie die Konstruktion von Graphen linearer Funktionen, die das Modul enthalten:
1.y = |x|. Funktionsgraph in Abbildung 2.
2.y = |x | + 1. Der Graph der Funktion in Abbildung 3.
3.y = |x + 1 |. Funktionsgraph Abbildung 4.
Ausgabe.
1. Der Graph der Funktion y = |x | + 1 erhält man aus dem Graphen der Funktion y = |x | parallele Translation zum Vektor (0; 1).
2. Der Graph der Funktion y = |x + 1 | ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = |x | parallele Translation durch Vektor (-1; 0).
2.Opiratsionkein ausführender Teil.
Bühne Forschungsarbeit... Gruppenarbeit.
Gruppe 1. Erstellen Sie Funktionsgraphen:
a) y = x 2 - 6 |x | + 3,
b) y = |x 2 - 6x + 3 |.
Lösung.
1. Erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = x 2 -6x + 3.
2. Zeigen Sie es symmetrisch zur Oy-Achse an.
Diagramm in Abbildung 5.
b) 1. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion y = x 2 - 6x + 3.
2. Zeigen Sie es symmetrisch zur Ox-Achse an.
Funktionsgraph in Abbildung 6.
Ausgabe.
1. Der Graph der Funktion y = f (| x |) wird aus dem Graph der Funktion y = f (x) erhalten, der relativ zur Achse Oy abgebildet wird.
2. Der Graph der Funktion y = |f (x) | wird aus dem Graph der Funktion y = f (x) erhalten, der relativ zur Ox-Achse abgebildet wird.
Gruppe 2: Erstellen Sie Funktionsgraphen:
a) y = |x 2 - 6 |x | + 3 |;
b) y = |x 2 - 6x + 3 | - 3.
Lösung.
1. Der Graph der Funktion y = x 2 + 6x + 3 wird relativ zur Oy-Achse dargestellt, der Graph der Funktion y = x 2 - 6 |x | + 3.
2. Der resultierende Graph wird symmetrisch um die Ox-Achse angezeigt.
Funktionsgraph in Abbildung 7.
Ausgabe.
Graph der Funktion y = |f (| x |) | wird aus dem Graphen der Funktion y = f (x) durch sequentielle Anzeige relativ zu den Koordinatenachsen erhalten.
1. Der Graph der Funktion y = x 2 - 6x + 3 wird relativ zur Ox-Achse angezeigt.
2. Der resultierende Graph wird auf den Vektor (0; -3) übertragen.
Funktionsgraph in Abbildung 8.
Ausgabe. Der Graph der Funktion y = |f (x) | + a erhält man aus dem Graphen der Funktion y = |f (x) | durch parallele Translation zum Vektor (0, a).
Gruppe 3: Funktionsgraph darstellen:
a) y = |x|(x – 6) + 3; b) y = x | x - 6 | + 3.
Lösung.
a) y = |x | (x - 6) + 3, wir haben eine Reihe von Systemen:
Wir bauen einen Graphen der Funktion y = -x 2 + 6x + 3 bei x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.
Funktionsgraph in Abbildung 9.
b) y = x | x - 6 | + 3, wir haben eine Reihe von Systemen:
Wir bauen einen Graphen der Funktion y = - x 2 + 6x + 3 bei x 6.
2. Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel: x = - b / 2a = 3, y (3) = 1 2, A (3; 12).
3. Gleichung der Symmetrieachse: x = 3.
4. Mehrere Punkte: y (2) = 11, y (1) = 3; j (-1) = - 4.
Wir bauen einen Graphen der Funktion y = x 2 - 6x + 3 bei x = 7 y (7) = 10.
Diagramm in Abb. 10.
Ausgabe. Beim Lösen dieser Gleichungsgruppe ist es notwendig, die Nullstellen der Moduli in jeder der Gleichungen zu berücksichtigen. Erstellen Sie dann einen Graphen der Funktion für jedes der erhaltenen Intervalle.
(Bei der Darstellung dieser Funktionen untersuchte jede Gruppe die Auswirkung des Moduls auf das Erscheinungsbild des Funktionsgraphen und zog entsprechende Schlussfolgerungen.)
Ich habe eine Pivot-Tabelle für Graphen von Funktionen, die ein Modul enthalten.
Eine Tabelle zum Zeichnen der Graphen von Funktionen, die ein Modul enthalten.
Gruppe 4.
Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen:
a) y = x 2 – 5x + |x – 3 |;
b) y = |x 2 - 5x | + x - 3.
Lösung.
a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |, wir gehen zur Menge der Systeme über:
Wir bauen einen Graphen der Funktion y = x 2 -6x + 3 bei x 3,
dann der Graph der Funktion y = x 2 - 4x - 3 für x> 3 entlang der Punkte y (4) = -3, y (5) = 2, y (6) = 9.
Funktionsgraph in Abbildung 11.
b) y = |x 2 - 5x | + x - 3 gehen wir zur Menge der Systeme über:
Wir bauen jeden Graphen auf dem entsprechenden Intervall auf.
Funktionsgraph in Abbildung 12.
Ausgabe.
Wir haben den Einfluss des Moduls in jedem Semester auf die Art des Graphen herausgefunden.
Selbstständige Arbeit.
Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen:
a) y = |x 2 - 5x + |x - 3 ||,
b) y = ||x 2 - 5x | + x - 3 |.
Lösung.
Die vorherigen Diagramme werden relativ zur Ox-Achse angezeigt.
Gruppe 5
Zeichnen Sie die Funktion: y = | x - 2 | (| x | - 3) - 3.
Lösung.
Betrachten Sie die Nullstellen von zwei Modulen: x = 0, x - 2 = 0. Wir erhalten Intervalle mit konstantem Vorzeichen.
Wir haben eine Reihe von Gleichungssystemen:
Wir erstellen für jedes der Intervalle einen Graphen.
Diagramm in Abbildung 15.
Ausgabe. Die beiden Module in den vorgeschlagenen Gleichungen haben die Konstruktion eines allgemeinen Graphen, der aus drei separaten Graphen besteht, erheblich erschwert.
Die Schüler zeichneten die Leistungen jeder der Gruppen auf, schrieben ihre Schlussfolgerungen auf und arbeiteten selbstständig.
3. Zuweisung zu Hause.
Erstellen Sie Funktionsgraphen mit unterschiedlichen Modulpositionen:
1.y = x2 + 4x + 2;
2.y = - x 2 + 6x - 4.
4. Reflektierende - Bewertungsphase.
1. Noten für eine Unterrichtsstunde setzen sich aus Noten zusammen:
a) für die Arbeit in einer Gruppe;
b) für selbstständiges Arbeiten.
2. Was war der interessanteste Moment im Unterricht?
3. Sind Ihre Hausaufgaben schwer?
Build-Funktion
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Die Funktion y = x ^ 2 heißt quadratische Funktion. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Generelle Form Parabel ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Quadratische Funktion
Abb. 1. Gesamtansicht der Parabel
Wie Sie aus dem Diagramm sehen können, ist es symmetrisch um die Oy-Achse. Die Achse Oy wird als Symmetrieachse der Parabel bezeichnet. Dies bedeutet, dass Sie über dieser Achse eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse zeichnen. Dann überquert es die Parabel an zwei Punkten. Der Abstand dieser Punkte zur Oy-Achse ist gleich.
Die Symmetrieachse teilt den Graphen der Parabel sozusagen in zwei Teile. Diese Teile werden die Äste der Parabel genannt. Und der Punkt der Parabel, der auf der Symmetrieachse liegt, wird als Parabelscheitel bezeichnet. Das heißt, die Symmetrieachse geht durch den Scheitel der Parabel. Die Koordinaten dieses Punktes (0; 0).
Grundeigenschaften einer quadratischen Funktion
1. Für x = 0, y = 0 und y > 0 für x0
2. Die quadratische Funktion erreicht an ihrem Scheitelpunkt ihren Minimalwert. Ymin bei x = 0; Es ist auch zu beachten, dass die Funktion keinen Maximalwert hat.
3. Die Funktion nimmt im Intervall ab (-∞; 0] und nimmt im Intervall zu)
