Kvadratiska och kubiska funktioner. Kvadratiska och kubiska funktioner Rita en 4 x 2 Y plot
Avsnitt: Matte
Ämne:"Plotta en kvadratisk funktion som innehåller modul."
(På exemplet med grafen för funktionen y \u003d x 2 - 6x + 3.)
Mål.
- Utforska funktionsgrafens placering på koordinatplanet beroende på modul.
- Utveckla färdigheter i att rita en funktion som innehåller en modul.
Under lektionerna.
1. Stadiet för att uppdatera kunskap.
a) Kontrollera läxor.
Exempel 1 Konstruera en graf av funktionen y \u003d x 2 - 6x + 3. Hitta nollorna för funktionen.
Lösning.
2. Parabelns vertexkoordinater: x= - b/2a = - (-6)/2=3, y(3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A(3; -6).
4. Funktionens nollor: y(x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 4 3 = 36 - 12 = 24, D> 0,
x 1,2 \u003d (6 ±) / 2 \u003d 3 ±; B(3-;0), C(3+;0).
Grafen i Fig.1.
Algoritm för att rita en graf av en kvadratfunktion.
1. Bestäm riktningen för parabelns "grenar".
2. Beräkna koordinaterna för toppen av parabeln.
3. Skriv ner ekvationen för symmetriaxeln.
4. Beräkna flera poäng.
b) Betrakta konstruktionen av grafer för linjära funktioner som innehåller modulen:
1. y = |x|. Grafen för funktionen i figur 2.
2.y = |x| + 1. Graf över funktionen i figur 3.
3. y = |x + 1|. Funktionsdiagram i figur 4.
Produktion.
1. Graf för funktionen y = |x| + 1 erhålls från grafen för funktionen y = |x| parallell överföring till vektorn (0;1).
2. Graf för funktionen y = |x + 1| erhålls från grafen för funktionen y = |x| parallell överföring till vektorn (-1; 0).
2. Operativ och verkställande del.
Skede forskningsarbete. Grupparbete.
Grupp 1. Konstruera grafer för funktioner:
a) y \u003d x 2 - 6 | x | + 3,
b) y \u003d |x 2 - 6x + 3 |.
Lösning.
1. Konstruera en graf av funktionen y \u003d x 2 -6x + 3.
2. Visa den symmetriskt kring Oy-axeln.
Diagram i figur 5.
b) 1. Rita funktionen y \u003d x 2 - 6x + 3.
2. Visa den symmetriskt kring x-axeln.
Grafen för funktionen i figur 6.
Produktion.
1. Grafen för funktionen y \u003d f (|x |) erhålls från grafen för funktionen y \u003d f (x), genom avbildning i förhållande till Oy-axeln.
2. Graf för funktionen y = |f(x)| erhålls från grafen för funktionen y \u003d f (x), genom att mappa kring Ox-axeln.
Grupp 2. Konstruera grafer över funktioner:
a) y = |x 2 - 6|x| + 3|;
b) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.
Lösning.
1. Grafen för funktionen y \u003d x 2 + 6x + 3 visas i förhållande till Oy-axeln, vi får grafen för funktionen y \u003d x 2 - 6 | x | + 3.
2. Den resulterande grafen visas symmetriskt kring x-axeln.
Grafen för funktionen i figur 7.
Produktion.
Graf för funktionen y = |f (|x|)| erhålls från grafen för funktionen y \u003d f (x), genom en sekventiell visning med avseende på koordinataxlarna.
1. Grafen för funktionen y \u003d x 2 - 6x + 3 visas i förhållande till Ox-axeln.
2. Överför den resulterande grafen till vektorn (0;-3).
Grafen för funktionen i figur 8.
Produktion. Graf för funktionen y = |f(x)| + a erhålls från grafen för funktionen y = |f(x)| parallell överföring till vektorn (0,a).
Grupp 3. Plotta funktionen:
a) y = |x|(x - 6) + 3; b) y = x|x - 6| + 3.
Lösning.
a) y = |x| (x - 6) + 3, vi har en uppsättning system:
Vi bygger en graf av funktionen y \u003d -x 2 + 6x + 3 för x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.
Grafen för funktionen i figur 9.
b) y \u003d x | x - 6 | + 3, vi har en uppsättning system:
Vi bygger en graf av funktionen y \u003d - x 2 + 6x + 3 för x 6.
2. Parabolens vertexkoordinater: x = - b/2a = 3, y(3) =1 2, A(3;12).
3. Symmetriaxelns ekvation: x = 3.
4. Flera punkter: y(2) = 11, y(1) = 3; y(-1) = -4.
Vi bygger en graf av funktionen y \u003d x 2 - 6x + 3 för x \u003d 7 y (7) \u003d 10.
Graf i Fig.10.
Produktion. När man löser denna grupp av ekvationer är det nödvändigt att överväga nollorna för modulerna som finns i var och en av ekvationerna. Bygg sedan en graf över funktionen på vart och ett av de erhållna intervallen.
(När de ritade dessa funktioner undersökte varje grupp modulens inverkan på funktionsdiagrammets utseende och drog lämpliga slutsatser.)
Vi fick en sammanfattningstabell för grafer över funktioner som innehåller modulen.
Tabell för att plotta funktioner som innehåller en modul.
Grupp 4
Rita funktionen:
a) y \u003d x 2 - 5x + |x - 3 |;
b) y = |x 2 - 5x| + x - 3.
Lösning.
a) y \u003d x 2 - 5x + | x - 3 |, gå till uppsättningen system:
Vi bygger en graf av funktionen y \u003d x 2 -6x + 3 vid x 3,
sedan grafen för funktionen y \u003d x 2 - 4x - 3 för x\u003e 3 vid punkterna y (4) \u003d -3, y (5) \u003d 2, y (6) \u003d 9.
Grafen för funktionen i figur 11.
b) y \u003d |x 2 - 5x | + x - 3, vi övergår till uppsättningen av system:
Vi bygger varje graf på motsvarande intervall.
Grafen för funktionen i figur 12.
Produktion.
Vi fick reda på vilken inverkan modulen har i varje termin på grafens utseende.
Självständigt arbete.
Rita funktionen:
a) y \u003d |x 2 - 5x + |x - 3 ||,
b) y= ||x 2 - 5x| + x - 3|.
Lösning.
De föregående graferna visas i förhållande till Ox-axeln.
Grupp.5
Konstruera en graf för funktionen: y = | x - 2| (|x| - 3) - 3.
Lösning.
Betrakta nollorna för två moduler: x = 0, x - 2 = 0. Vi får intervall med konstant tecken.
Vi har en uppsättning ekvationssystem:
Vi bygger en graf för vart och ett av intervallen.
Diagram i figur 15.
Produktion. De två modulerna i de föreslagna ekvationerna komplicerar avsevärt konstruktionen av en allmän graf bestående av tre separata grafer.
Eleverna spelade in var och en av gruppernas prestationer, skrev ner slutsatserna och deltog i ett självständigt arbete.
3. Läxor.
Konstruera funktionsdiagram med olika modulplatser:
1. y \u003d x 2 + 4x + 2;
2. y \u003d - x 2 + 6x - 4.
4. Reflekterande - utvärderande skede.
1. Betygen för lektionen består av betyg:
a) för att arbeta i en grupp;
b) för självständigt arbete.
2. Vilket var det mest intressanta ögonblicket på lektionen?
3. Är läxor svåra?
Bygg en funktion
Vi uppmärksammar dig på en tjänst för att plotta funktionsgrafer online, alla rättigheter som tillhör företaget Desmos. Använd den vänstra kolumnen för att ange funktioner. Du kan ange manuellt eller använda det virtuella tangentbordet längst ner i fönstret. För att förstora diagramfönstret kan du dölja både den vänstra kolumnen och det virtuella tangentbordet.
Fördelar med kartläggning online
- Visuell visning av introducerade funktioner
- Bygger mycket komplexa grafer
- Rita implicit definierade grafer (t.ex. ellips x^2/9+y^2/16=1)
- Möjligheten att spara diagram och få en länk till dem, som blir tillgänglig för alla på Internet
- Skalkontroll, linjefärg
- Förmågan att rita grafer efter punkter, användning av konstanter
- Konstruktion av flera grafer av funktioner samtidigt
- Plotta i polära koordinater (använd r och θ(\theta))
Hos oss är det enkelt att bygga grafer av varierande komplexitet online. Konstruktionen görs omedelbart. Tjänsten efterfrågas för att hitta skärningspunkter för funktioner, för att visa grafer för deras vidare överföring till ett Word-dokument som illustrationer för att lösa problem, för att analysera funktionsgrafernas beteendeegenskaper. Den bästa webbläsaren för att arbeta med diagram på den här sidan på webbplatsen är Google Chrome. När du använder andra webbläsare garanteras inte korrekt funktion.
Funktionen y=x^2 kallas en kvadratisk funktion. Grafen för en kvadratisk funktion är en parabel. Allmän form parabel visas i figuren nedan.
kvadratisk funktion
Fig 1. Allmän vy av parabeln
Som framgår av grafen är den symmetrisk kring Oy-axeln. Axeln Oy kallas för parabelns symmetriaxel. Detta betyder att om du ritar en rät linje parallellt med Ox-axeln ovanför denna axel på diagrammet. Sedan skär den parabeln i två punkter. Avståndet från dessa punkter till y-axeln blir detsamma.
Symmetriaxeln delar parabelns graf så att säga i två delar. Dessa delar kallas parabelns grenar. Och punkten på parabeln som ligger på symmetriaxeln kallas parabelns vertex. Det vill säga, symmetriaxeln passerar genom toppen av parabeln. Koordinaterna för denna punkt är (0;0).
Grundläggande egenskaper för en kvadratisk funktion
1. För x=0, y=0 och y>0 för x0
2. Den kvadratiska funktionen når sitt lägsta värde vid sin spets. Ymin vid x=0; Det bör också noteras att maxvärdet för funktionen inte existerar.
3. Funktionen minskar med intervallet (-∞; 0] och ökar med intervallet )
