Prezentare pe tema „Istoria numerelor complexe”. Prezentare pe tema numerelor complexe Prezentarea numerelor complexe școala tehnică anul I

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

Numere complexe

După studierea temei „Numere complexe, elevii ar trebui: să cunoască: forme algebrice, geometrice și trigonometrice ale unui număr complex. Să fie capabil: să efectueze operații pe numere complexe de adunare, înmulțire, scădere, împărțire, exponențiere, extragerea rădăcinii dintr-un număr complex; converti numere complexe din forma algebrică în geometrică și trigonometrică; utilizați interpretarea geometrică a numerelor complexe; în cele mai simple cazuri, găsiți rădăcini complexe ale ecuațiilor cu coeficienți reali.

Cu ce ​​seturi de numere sunteți familiarizat? N Z Q R I . Pregătirea pentru a învăța material nou

Sistem de numere Operații algebrice valide Operații algebrice parțial valide Numere naturale, N Întregi, Z Numere raționale, Q Numere reale, R Adunare, înmulțire Scădere, împărțire, înrădăcinare Adunare, scădere, înmulțire Împărțire, înrădăcinare Adunare, scădere, înmulțire, împărțire Extragerea rădăcinilor din numere nenegative Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, extragerea rădăcinilor din numerele nenegative Extragerea rădăcinilor din numerele arbitrare Numere complexe, C Toate operațiile

Condițiile minime pe care trebuie să le îndeplinească numerele complexe: C 1) Există o rădăcină pătrată a, i.e. există un număr complex al cărui pătrat este . C 2) Mulțimea numerelor complexe conține toate numerele reale. C 3) Operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire a numerelor complexe satisfac legile uzuale ale operaţiilor aritmetice (asociative, comutative, distributive). Îndeplinirea acestor condiții minime ne permite să determinăm întreaga mulțime C de numere complexe.

Numere imaginare i = - 1, i - unitatea imaginară i , 2 i , -0,3 i - numere pur imaginare Operațiile aritmetice pe numere pur imaginare sunt efectuate în conformitate cu condiția C3. unde a și b sunt numere reale. ÎN vedere generala regulile pentru operațiile aritmetice cu numere pur imaginare sunt următoarele:

Numere complexe Definiție 1 . Un număr complex este suma unui număr real și a unui număr pur imaginar. Definiția 2. Două numere complexe sunt numite egale dacă părțile lor reale sunt egale și părțile lor imaginare sunt egale:

Clasificarea numerelor complexe Numere complexe a + bi Numere reale b = o Numere imaginare b ≠ o Numere raționale Numere iraționale Numere imaginare cu parte reală diferită de zero a ≠ 0, b ≠ 0. Numere pur imaginare a = 0, b ≠ 0.

Operații aritmetice pe numere complexe (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Numerele complexe conjugate Definiție: Dacă păstrăm partea reală a unui număr complex și schimbăm semnul părții imaginare, atunci obținem un număr complex conjugat la cel dat. Dacă un număr complex dat este notat cu litera z, atunci conjugatul este notat cu: : . Dintre toate numerele complexe, numerele reale (și numai ele) sunt egale cu numerele lor conjugate. Numerele a + bi și a - bi se numesc numere complexe conjugate reciproc.

Proprietățile numerelor conjugate Suma și produsul a două numere conjugate este un număr real. Conjugatul sumei a două numere complexe este egal cu suma conjugatelor numerelor date. Conjugatul diferenței a două numere complexe este egal cu diferența conjugatelor numerelor date. Conjugatul produsului a două numere complexe este egal cu produsul conjugatelor numerelor date.

Proprietățile numerelor conjugate Numărul conjugat la câtul a două numere complexe, al căror divizor este diferit de zero, este egal cu câtul numerelor conjugate, adică.

Gradele unității imaginare Prin definiție, primul grad al numărului i este numărul i însuși, iar al doilea grad este numărul -1: . Puterile mai mari ale lui i se găsesc astfel: i 4 = i 3 ∙ i = -∙ i 2 = 1; i 5 \u003d i 4 ∙ i \u003d i; i 6 \u003d i 5 ∙ i \u003d i 2 \u003d - 1 etc. i 1 = i , i 2 = -1 Evident, pentru orice natural n i 4n = 1; i 4n+1 = i ; i 4n +2 = - 1 i 4n+3 = - i .

Extragerea rădăcinilor pătrate din numere complexe în formă algebrică. Definiție. Numărul w se numește rădăcină pătrată a numărului complex z dacă pătratul său este egal cu z: Teoremă. Fie z=a+bi un număr complex diferit de zero. Apoi există două numere complexe reciproc opuse ale căror pătrate sunt egale cu z. Dacă b ≠ 0, atunci aceste două numere sunt exprimate prin formula:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numărul complex z pe planul de coordonate corespunde punctului M(a, b). Adesea, în loc de puncte din plan, își iau vectorii cu rază Definiție: Modulul unui număr complex z = a + bi este un număr nenegativ egal cu distanța de la punctul M la originea b a M (a, b ) y x O φ

Forma trigonometrică a unui număr complex unde φ este argumentul unui număr complex, r = - modulul unui număr complex,

Înmulțirea și împărțirea numerelor complexe date sub formă trigonometrică Teorema 1 . Dacă și atunci: b) a) Teorema 2 (formula lui De Moivre). Fie z orice număr complex diferit de zero, n orice număr întreg. Apoi

Extragerea rădăcinii unui număr complex. Teorema. Pentru orice număr natural n și număr complex diferit de zero z, există n valori diferite ale rădăcinii gradului n. Dacă

Numere complexe Numere complexe și operații asupra lor.

Sistem numeric Operații algebrice permise Operații algebrice parțial permise. Numerele naturale, N Adunarea, înmulțirea Scăderea, împărțirea, extragerea rădăcinilor. Dar, pe de altă parte, ecuația nu are rădăcini în N numere întregi, Z Adunare, scădere, înmulțire. Divizarea, extragerea rădăcinilor. Dar, pe de altă parte, ecuația nu are rădăcini în Z Numere raționale, Q Adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Extragerea rădăcinilor din numere nenegative. Dar, pe de altă parte, ecuația nu are rădăcini în Q Numerele reale, R Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, luând rădăcini din numere nenegative. Extragerea rădăcinilor din numere arbitrare. Dar, pe de altă parte, ecuația nu are rădăcini în R Numere complexe, C Toate operațiile

CONDIȚII pe care numerele complexe trebuie să le îndeplinească ... 1. Există un număr complex al cărui pătrat este -1 2. Mulțimea numerelor complexe conține toate numerele reale. 3. Operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor complexe satisfac legea obișnuită a operațiilor aritmetice (asociative, comutative, distributive)

Forma unui număr complex În termeni generali, regulile pentru operaţiile aritmetice cu numere pur imaginare sunt următoarele: ai+bi =(a+b) i ; ai-bi=(a-b) i; a(bi)=(ab) i; (ai)(bi)=abi²=- ab (a și b sunt numere reale) i²= -1, i - unitate imaginară

Definiții Definiția #1 Un număr complex este suma unui număr real și a unui număr pur imaginar. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i este unitatea imaginară. În notația z \u003d a + bi, numărul a este numit partea reală a numărului complex z, iar numărul b este numit partea imaginară a numărului complex z. Definiția №2 Două numere complexe sunt numite egale dacă părțile lor reale sunt egale și părțile lor imaginare sunt egale. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Definiția nr. 3 Dacă păstrăm partea reală a unui număr complex și schimbăm semnul părții imaginare, atunci obținem un număr complex conjugat cu acesta. Z=X+YI X - YI

Formule Suma numerelor complexe: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) Diferența de numere complexe : z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) Produsul numerelor complexe: (a+bi)(c+di)= i (ac-bd) )+( bc+ad) Formula pentru câtul a două numere complexe: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 Proprietăți Proprietatea 1 Dacă z = x + yi , atunci z*z = x ² + y ² z 1 Atât numărătorul cât și numitorul fracției trebuie înmulțit cu conjugatul numitorului. Proprietatea 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 i.e. conjugatul sumei a două numere complexe este egal cu suma conjugatelor numerelor date. Proprietatea 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, i.e. conjugatul diferenței a două numere complexe este egal cu diferența conjugatelor numerelor date.

Proprietatea 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 adică numărul conjugat la produsul a două numere complexe este egal cu produsul numerelor date conjugate. Pe de altă parte, Z 1= a-bi, c- di , deci Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) Proprietatea 5 Proprietatea 6

Interpretarea geometrică a unui număr complex. Y 0 X Bi A Z = A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Forma algebrică Forma geometrică Produs Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1 + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] Produs (A+iB) (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Suma (A+iB) + (C+iD )= (A+C)+(B+D)I

Formula lui Moivre Pentru orice Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 și orice număr natural n

Teorema lui Gauss: Fiecare ecuație algebrică are cel puțin o rădăcină în mulțimea numerelor complexe Orice ecuație algebrică de grad n are exact n rădăcini în mulțimea numerelor complexe. A doua formulă a lui De Moivre determină toate rădăcinile unei ecuații cu doi termeni de grad n

Vă mulțumim pentru atenție! Prezentarea a fost realizată de: un elev de 10 „a” clasa MOAU „Gimnaziul Nr. 7” din Orenburg Elimova Maria.

1,85  -2  0,8 Lumea numerelor este nesfârșită.  Primele idei despre număr au apărut din numărarea obiectelor (1, 2, 3 etc.) - NUMERE NATURALE.  Ulterior au apărut FRACȚII ca urmare a măsurării lungimii, greutății etc. (, etc.)  NUMERELOR NEGATIVE, au apărut odată cu dezvoltarea algebrei Numerele întregi (adică naturale 1, 2, 3 etc.), numerele negative (- 1, -2, -3 etc. și zero), fracțiile se numesc NUMERE RAȚIONALE. ,  Numerele raționale nu pot exprima cu exactitate lungimea diagonalei unui pătrat dacă lungimea laturii este egală cu unitatea de măsură. Pentru a exprima cu acuratețe relația segmentelor incomensurabile, trebuie să introduceți un număr nou:  IRAȚIONAL (etc.) Rațional și irațional - formează o mulțime: Numerele reale. Când se iau în considerare numerele reale, s-a observat că în mulțimea numerelor reale este imposibil, de exemplu, să se găsească un număr al cărui pătrat este egal cu. Când se iau în considerare ecuațiile pătratice cu discriminanți negativi, s-a remarcat, de asemenea, că astfel de ecuații nu au rădăcini care ar fi numere reale. Pentru a face astfel de probleme rezolvabile, se introduc numere noi - Numere complexe Numere complexe 2=-1 3=- = 4 =1 b - Numere imaginare a + b - Numere complexe a, b - Orice numere reale Numere complexe trecute și prezente. Numerele complexe au apărut în matematică cu mai bine de 400 de ani în urmă. Pentru prima dată, am întâlnit rădăcinile pătrate ale numerelor negative.  Ce este, ce sens ar trebui să i se acorde acestei expresii, nimeni nu știa. Rădăcina pătrată a oricărui număr negativ nu are semnificație în mulțimea numerelor reale. Acest lucru se întâlnește la rezolvarea ecuațiilor pătratice, cubice, a ecuațiilor de gradul IV. MATEMATICĂ LUATĂ ÎN VEDERE: LEONHARD EULER Rădăcinile pătrate ale numerelor negative - pentru că nu sunt mai mari, nici mai mici și nici egale cu zero - nu pot fi numărate printre numerele posibile. Gottfried Wilim Leibnetz Gottfried Leibnetz a numit numerele complexe „un refugiu grațios și minunat al spiritului divin”, un degenerat al lumii ideilor, o ființă aproape duală, între a fi și a nu fi”. El a lăsat chiar moștenire să deseneze pe mormânt un semn ca simbol al lumii celeilalte. K. Gauss la începutul secolului al XIX-lea a sugerat să le numească „numere complexe”. K. F. Gauss Forme ale numerelor complexe: Z=a+bi - forma algebrică Z=r() - trigonometrică Z=rE - exponențială  În electromecanică  La studierea mișcării corpurilor cerești naturale și artificiale etc. e. Și la sfârșitul prezentării, oferind să Rezolvați cuvintele încrucișate „Verificați-vă” 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Care este numele numărului de forma Z \u003d a + bc? 2. În ce măsură a unității imaginare se obține una? 3. Care sunt numele numerelor care diferă doar prin semn la partea imaginară? 4. Lungimea vectorului. 5. Unghiul sub care se află vectorul. 6. Care este forma unui număr complex: Z=r(cos +sin)? 7. Care este forma numărului complex Z=re? 8. Vedeți D \u003d b -4ac, ce este D?

După ce am studiat tema „Numere complexe
elevii ar trebui:
Știi:
forme algebrice, geometrice și trigonometrice
număr complex.
A fi capabil să:
efectuează operații de adunare pe numere complexe,
înmulțire, scădere, împărțire, exponențiere, extracție
rădăcina unui număr complex;
converti numere complexe din forma algebrică în
geometrice și trigonometrice;
utilizați interpretarea geometrică a numerelor complexe;
în cele mai simple cazuri, găsiți rădăcini complexe ale ecuațiilor cu
coeficienți reali.

Cu ce ​​seturi de numere sunteți familiarizat?

numere imaginare

Numere complexe

Clasificarea numerelor complexe

Operatii aritmetice pe numere complexe

Conjugați numere complexe

Proprietățile numerelor conjugate

Proprietățile numerelor conjugate

Puterile unitatii imaginare

Extragerea rădăcinilor pătrate din numere complexe în formă algebrică.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Forma trigonometrică a unui număr complex

Înmulțirea și împărțirea numerelor complexe date în formă trigonometrică

Extragerea rădăcinii unui număr complex.