Одноканальная смо с ограниченной длиной очереди. Курсовая работа: Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания Одноканальная смо с ограниченной очередью

Среди СМО с очередью различают замкнутые и разомкнутые системы.

Замкнутыми называются СМО, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. В качестве примера такой СМО можно привести ремонтные мастерские на предприятиях.

Разомкнутыми называются СМО, в которых поступающий поток требований является неограниченным. Примерами таких систем могут являться магазины, кассы вокзалов.

Рассмотрим одноканальную СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения. Интенсивность входного потока требований равна λ , а интенсивность обслуживания μ . Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО. Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 ,..., S k по числу требований, находящихся в ней:

S 0 - канал свободен;

S 1 -канал занят, очереди нет;

S 2 - канал занят, одно требование стоит в очереди;

S k - канал занят, (к –1) требований стоят в очереди.

Граф состояний СМО имеет вид:

λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ

Если a <1, т.е. среднее число поступающих требований меньше среднего числа обслуженных требований, то предельные вероятности существуют и очередь не может расти бесконечно. Если a ≥1, то очередь растет до бесконечности. Итак, предполагаем что a <1.

Предельные вероятности состояний определяются по формулам: (6.16)

Вероятность того, что канал обслуживания свободен, т.е. система находится в состоянии ; (6.17)

Вероятность того, что канал занят, но очереди нет;

Вероятность того, что канал занят и очереди 1 требование и т.д.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии

Среднее число требований в системе определяется по формуле:

Средняя длина очереди L оч :

Среднее время пребывания в системе Т сист :

Среднее время пребывания в очереди Т оч :

Вероятность того, что канал занят

Пример: На АЗС с одной бензоколонкой прибывают на заправку автомобили с интенсивностью 24 машины в час, а среднее время заправки одного автомобиля составляет 2 минуты. Определить показатели эффективности работы АЗС.

Решение: n =1, l =24 автом/час, t =2мин. Находим величину Значения l и t имеют различную временную размерность, поэтому преобразуем одно из них.

l =24 автом/час=24 автом/60мин=0,4автом/мин.

Тогда, a =0,4×2=0,8.

Так как a <1, то очередь на заправку не может возрастать бесконечно и предельные вероятности существуют.

1. Вероятность того, что бензоколонка свободна находим по формуле (6.17): P 0 =1–a= 1–0,8=0,2.

2. Вероятность того, что бензоколонка занята заправкой автомобилей, находим по формуле (6.22): P зан =a =0,8.

3. Среднее число автомобилей, ожидающих заправки, т.е. средняя длина очереди вычисляется по формуле (6.19):

4. Среднее время ожидания заправки вычисляется по формуле (6.21):

5. Среднее число автомобилей, находящихся на АЗС, вычисляется по формуле (6.18):

6. Среднее время пребывания автомобиля на АЗС вычисляется по формуле (6.20):

Из вычислений видно, что эффективность работы АЗС хорошая.

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; поток обслуживаний имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания заявки tоб. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Lсист - среднее число заявок в системе,

Wсист - среднее время пребывания заявки в системе,

Lоч - среднее число заявок в очереди,

Woч - среднее время пребывания заявки в очереди,

Рзан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А=λ, по той же причине Q = 1.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S0 - канал свободен,

S1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди,

Sk - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди.

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 4.11. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью μ.

Рис. 4.11. Граф состояний СМО в виде схемы гибели и размножения с бесконечным числом состояний

Прежде всего, спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t→∞ очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если р строго меньше единицы (р<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (4.21), (4.20). В нашем случае число слагаемых в формуле (4.21) будет бесконечным. Получим выражение для р0:

Вероятности р1, р2, ..., рk, ... найдутся по формулам:

откуда, с учетом (4.38), найдем окончательно:

p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk = ρ4(1- ρ), . . . (4.39)

Как видно, вероятности р0, р1, ..., pk, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р0 - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (р <1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО Lсист. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения 0, 1, 2, ..., k, ... с вероятностями р0, р1, p2, ..., рk, ... Ее математическое ожидание равно

(сумма берется не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (4.40) выражение для рk (4.39):

Теперь вынесем за знак суммы р (1 - р):

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: kpk-1 есть не что иное, как производная по р от выражения рk; значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Ну, а теперь применим формулу Литтла (4.25) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Lоч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди Lоч равно среднему числу заявок в системе Lсист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Рзан). Очевидно, Рзан равно единице минус вероятность р0 того, что канал свободен:

и окончательно

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Обслуживание (расформирование) состава длится случайное (показательное) время со средним значением tоб = 20 (мин.). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее число составов Lсист, связанных со станцией, среднее время Wсист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число Lоч составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время Wоч пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях Lвнеш и среднее время этого ожидания Wвнеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а (руб.). На всякий случай сообщаем ответы: Lcист = 2 (состава), Wсист = i (час), Lоч = 4/3 (состава), Wоч = 2/3 (часа), Lвнеш = 16/27 (состава), Wвнеш = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф а: Ш ≈ 14,2а.

• вероятность отказа канала, вероятность свободного канала, абсолютная пропускная способность;
• относительная пропускная способность, среднее время обслуживания, среднее время простоя канала.

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме выберите модель СМО. Укажите интенсивность потока заявок λ и интенсивность потока обслуживания μ . Для одноканальной СМО с ограниченной длиной очереди можно указать длину очереди m , а для одноканальной СМО с неограниченной очередью - число заявок в очереди (для расчета вероятности нахождения этих заявок в очереди). см. пример решения . . Полученное решение сохраняется в файле Word .

Классификация одноканальных систем массового обслуживания

Пример №1 . Авто заправочная станция имеет одну бензоколонку. Предполагается что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ=11 автомашин/ч. Время обслуживания заявки случайная величина которая подчиняется экспоненциальному закону с параметром μ=14 автомашин/ч. Определить среднее число автомашин на станции.

Пример №2 . Имеется пункт проведения профилактического осмотра машин с одной группой проведения осмотра. На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,4 часа. На осмотр поступает в среднем 328 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний - простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания пункта профилактического осмотра.
Решение. Здесь α = 328/24 ≈ = 13.67, t = 0.4. Эти данные необходимо ввести в калькулятор.

Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Будем предполагать, что входящий поток заявок на обслуживание есть простейший поток с интенсивностью λ.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.

Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Будем считать, что размер очереди ограничен и не может вместить более m заявок, т.е. заявка, заставшая в момент своего прихода в СМО m +1 заявок (m ожидающих в очереди и одну, находящуюся на обслуживании), покидает СМО.

Система уравнений, описывающих процесс в этой системе, имеет решение:

(0‑1)

Знаменатель первого выражения представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем ρ, откуда получаем

При ρ = 1 можно прибегнуть к прямому подсчету

(0‑8)

Среднее число находящихся в системе заявок.

Поскольку среднее число находящихся в системе заявок

(0‑9)

где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, то зная остается найти . Т.к. канал один, то число обслуживаемых заявок может равняться либо 0, либо 1 с вероятностями P 0 и P 1=1- P 0 соответственно, откуда

(0‑10)

и среднее число находящихся в системе заявок равно

(0‑11)

Среднее время ожидания заявки в очереди .

(0‑12)

т.е., среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Среднее время пребывания заявки в системе.

Время пребывания заявки в системе складывается из времени ожидания заявки в очереди и времени обслуживания. Если загрузка системы составляет 100%, то =1/μ, в противном случае = q / μ . Отсюда

(0‑13)

Содержание работы .

Подготовка инструментария эксперимента .

Выполняется аналогично в соответствии с общими правилами.

Расчет на аналитической модели .

1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.

2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите исходные данные, которые определяются по правилу:

m=1,2,3

(максимальная длина очереди).

Для каждого значения m необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:

= <порядковый номер в списке группы>

3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.

Эксперимент на имитационной модели .

1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.

2. Для каждой комбинации m , и осуществите запуск модели.

3. Результаты запусков внесите в таблицу.

4. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя P отк , q и А.

Анализ результатов .

1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.

2. Для m=3 постройте на одной диаграмме графики зависимости P отк от на теоретически и экспериментально полученных данных.

Оптимизация параметров СМО .

Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для прибора со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:

- доход от обслуживания одной заявки равным 80 у.е./час,

- стоимость содержания одного прибора равным 1у.е./час.

1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:

Первый столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).

Все клетки второго и третьего столбцов заполняются значениями и.

В клетки столбцов с четвертого по девятый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.

В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).

В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:

- число заявок в единицу времени

N r =A

- суммарный доход в единицу времени

I S = I r *N r

- суммарный расход в единицу времени

E S =E s + E q *(n-1)

- прибыль в единицу времени

P = I S - E S

где

I r - доход от одной заявки ,

E s - расход на эксплуатацию одного прибора ,

E q - расход на эксплуатацию одного места в очереди .

Графики для P отк ,

- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,

- график зависимости прибыли в единицу времени от m .

Контрольные вопросы :

1) Дайте краткое описание одноканальной модели СМО с ограниченной очередью.

2) Какими показателями характеризуется функционирование одноканальной СМО с отказами?

3) Как рассчитывается вероятность p 0 ?

4) Как рассчитываются вероятности p i ?

5) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?

6) Как найти относительную пропускную способность?

7) Чему равна абсолютная пропускная способность?

8) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?

9) Приведите примеры СМО с ограниченной очередью.

Задачи .

1) Порт имеет один грузовой причал для разгрузки судов. Интенсивность потока составляет 0,5 заходов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Если в очереди на разгрузку стоят 3 судна, то приходящее судно направляется для разгрузки на другой причал. Найти показатели эффективности работы причала.

2) В справочную железнодорожного вокзала поступают телефонные запросы с интенсивностью 80 заявок в час. Оператор справочной отвечает на поступивший звонок в среднем 0,7 мин. Если оператор занят, клиенту выдается сообщение "Ждите ответа", запрос становится в очередь, длина которой не превышает 4 запросов. Дайте оценку работы справочной и вариант ее реорганизации

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л и интенсивностью обслуживания µ.

Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных состояний ее бесконечно:

Канал свободен, очереди нет, ;

Канал занят обслуживанием, очереди нет, ;

• - канал занят, одна заявка в очереди, ;
• - канал занят, заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m>?:

Рис. 3.5

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем. Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при. Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при, что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому, следовательно, относительная пропускная способность, соответственно, а абсолютная пропускная способность

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

Среднее число заявок в очереди -

Среднее число заявок в системе -

Среднее время пребывания заявки в системе -

Среднее время пребывания заявки с системе -

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания, то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при.