Квадратична та кубічна функції. Квадратична та кубічна функції Намалювати графік у 4х 2
Розділи: Математика
Тема:"Побудова графіка квадратної функції, що містить модуль".
(На прикладі графіка функції у = х 2 – 6x + 3.)
Ціль.
- Дослідити розташування графіка функції координатної площині залежно від модуля.
- Розвинути навички побудови графіка функції, що містить модуль.
Хід уроку.
1. Етап актуалізації знань.
а) Перевірка домашнього завдання.
приклад 1. Побудувати графік функції у = х 2 – 6х + 3. Знайти нулі функції.
Рішення.
2. Координати вершини параболи: х = - b / 2а = - (-6) / 2 = 3, у (3) = 9 - 18 + 3 = - 6, А (3; -6).
4. Нулі функції: у (х) = 0, х 2 - 6х + 3 = 0, D = 36 - 4 · 3 = 36 - 12 = 24, D> 0,
x 1,2 = (6 ± )/2 = 3 ±; В(3 - ;0), С(3 + ;0).
Графік на рис.
Алгоритм побудови графіка квадратної функції.
1. Визначити напрямок “гілок” параболи.
2. Обчислити координати вершини параболи.
3. Записати рівняння осі симетрії.
4. Обчислити кілька точок.
б) Розглянемо побудову графіків лінійних функцій, які містять модуль:
1. у = | х |. Графік функції малюнку 2.
2.у = | х | + 1. Графік функції малюнку 3.
3. у = | x + 1 |. Графік функції малюнку 4.
Висновок.
1. Графік функції у = | х | + 1 виходить із графіка функції у = |х| паралельним перенесенням на вектор (0; 1).
2. Графік функції у = | x + 1 | виходить із графіка функції у = |х| паралельним перенесенням на вектор (-1; 0).
2.Опіраційно-виконавча частина.
Етап дослідницької роботи. Робота у групах.
Група 1. Побудувати графіки функцій:
а) у = х 2 - 6 | + 3,
б) у = | х 2 - 6х + 3 |.
Рішення.
1.Побудувати графік функції у = х 2 -6х +3.
2. Відобразити його симетрично щодо осі Оу.
Графік малюнку 5.
б) 1. Побудувати графік функції у = х 2 – 6х + 3.
2. Відобразити його симетрично щодо осі Ох.
Графік функції малюнку 6.
Висновок.
1. Графік функції у = f(|x|) виходить із графіка функції у = f(x), відображенням щодо осі Оу.
2. Графік функції у = | f (x) | виходить із графіка функції у = f(x), відображенням щодо осі Ох.
Група 2. Побудувати графіки функцій:
а) у = | x 2 - 6 | x | + 3 |;
б) y = | x 2 - 6x + 3 | - 3.
Рішення.
1. Графік функції у = х 2 + 6x + 3 відображаємо щодо осі Оу, виходить графік функції у = х 2 - 6 | + 3.
2. Отриманий графік відображаємо симетрично щодо осі Ох.
Графік функції малюнку 7.
Висновок.
Графік функції y = | f (| x |) | виходить із графіка функції у = f(х), послідовним відображенням щодо осей координат.
1. Графік функції у = х 2 - 6х + 3 відображаємо щодо осі Ох.
2. Отриманий графік переносимо на вектор (0; -3).
Графік функції малюнку 8.
Висновок. Графік функції у = | f (x) | + a виходить із графіка функції у = | f (x) | паралельним перенесенням на вектор (0,a).
Група 3. Побудувати графік функції:
а) у = | x | (х - 6) + 3; б) у = х | x - 6 | + 3.
Рішення.
а) у = | x | (x - 6) + 3, маємо сукупність систем:
Будуємо графік функції у = -х 2 + 6x + 3 при х< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.
Графік функції малюнку 9.
б) у = х | х - 6 | + 3, маємо сукупність систем:
Будуємо графік функції у = - х 2 + 6х + 3 за х 6.
2. Координати вершини параболи: х = - b/2a = 3, у (3) = 12, А (3; 12).
3. Рівняння осі симетрії: х = 3.
4. Декілька точок: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = - 4.
Будуємо графік функції у = х 2 - 6х + 3 при х = 7 у (7) = 10.
Графік на рис.10.
Висновок. При розв'язанні цієї групи рівнянь необхідно розглядати нулі модулів, які у кожному з рівнянь. Потім будувати графік функції кожному з отриманих проміжків.
(При побудові графіків даних функцій кожна група досліджувала вплив модуля на вигляд графіка функції та зробила відповідні висновки.)
Отримали зведену таблицю для графіків функцій, що містять модуль.
Таблиця побудови графіків функцій, які містять модуль.
Група 4.
Побудувати графік функції:
а) у = х 2 - 5x + | x - 3 |;
б) у = | x 2 - 5x | + x – 3.
Рішення.
а) у = х 2 - 5х + | х - 3 |, переходимо до сукупності систем:
Будуємо графік функції у = х 2 -6х + 3 при х 3,
потім графік функції у = х 2 - 4х - 3 при х > 3 за точками у (4) = -3, у (5) = 2, у (6) = 9.
Графік функції малюнку 11.
б) у = | х 2 - 5х | + х - 3, переходимо до сукупності систем:
Будуємо кожний графік на відповідному інтервалі.
Графік функції малюнку 12.
Висновок.
З'ясували вплив модуля в кожному доданку на вигляд графіка.
Самостійна робота.
Побудувати графік функції:
а) у = | х 2 - 5х + | x - 3 | |,
б) у = | | x 2 - 5x | + х – 3 |.
Рішення.
Попередні графіки відображаємо щодо осі Ох.
Група.5
Побудувати графік функції: у = | х - 2 | (|x| - 3) - 3.
Рішення.
Розглянемо нулі двох модулів: x = 0, х – 2 = 0. Отримаємо інтервали постійного знака.
Маємо сукупність систем рівнянь:
Будуємо графік на кожному інтервалі.
Графік малюнку 15.
Висновок. Два модулі у запропонованих рівняннях суттєво ускладнили побудову загального графіка, що складається з трьох окремих графіків.
Учні записували виступи кожної групи, записували висновки, брали участь у самостійної роботі.
3. Завдання додому.
Побудувати графіки функцій з різним розташуванням модуля:
1. у = х 2 + 4х + 2;
2. у = - х 2 + 6х - 4.
4. Рефлексивно - оцінний етап.
1.Оцінки за урок складаються з позначок:
а) за роботу у групі;
б) за самостійну роботу.
2. Який момент був найцікавіший на уроці?
3. Чи важке домашнє завдання?
Побудувати функцію
Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.
Переваги побудови графіків онлайн
- Візуальне відображення функцій, що вводяться
- Побудова дуже складних графіків
- Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
- Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
- Управління масштабом, кольором ліній
- Можливість побудови графіків за точками, використання констант
- Побудова одночасно кількох графіків функцій
- Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))
З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення у Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функций. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.
Функція y=x^2 називається квадратичною функцією. Графіком квадратичної функції парабола. Загальний виглядпараболи представлений малюнку нижче.
Квадратична функція
Рис 1. Загальний вигляд параболи
Як очевидно з графіка, він симетричний щодо осі Оу. Ось Оу називається віссю симетрії параболи. Це означає, що якщо провести на графіку пряму паралельну осі Ох вище це осі. То вона перетне параболу у двох точках. Відстань від цих точок до осі Оу буде однаковою.
Ось симетрії поділяє графік параболи на дві частини. Ці частини називаються гілками параболи. А точка параболи, яка лежить на осі симетрії, називається вершиною параболи. Тобто вісь симетрії проходить через вершину параболи. Координати цієї точки (0; 0).
Основні властивості квадратичної функції
1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0
2. Мінімальне значення квадратична функція досягає у своїй вершині. Ymin при x=0; Слід також зауважити, що максимального значення функції не існує.
3. Функція зменшується на проміжку (-∞;0] і зростає на проміжку )
