Prezantim me temën "Historia e numrave kompleksë". Prezantim me temën e numrave kompleksë Prezantim i numrave komplekse Shkolla teknike e vitit 1

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Numrat kompleks

Pas studimit të temës “Numrat kompleksë, nxënësit duhet: Të njohin: format algjebrike, gjeometrike dhe trigonometrike të një numri kompleks. Të jetë i aftë: të kryejë veprime në numrat kompleks të mbledhjes, shumëzimit, zbritjes, pjesëtimit, fuqizimit, nxjerrjen e rrënjës nga një numër kompleks; shndërrimi i numrave kompleks nga forma algjebrike në gjeometrike dhe trigonometrike; të përdorë interpretimin gjeometrik të numrave kompleks; në rastet më të thjeshta, gjeni rrënjët komplekse të ekuacioneve me koeficientë realë.

Me cilat grupe numrash jeni njohur? N Z Q R I . Përgatitja për të mësuar materiale të reja

Sistemi i numrave Veprime të vlefshme algjebrike Veprime algjebrike pjesërisht të vlefshme Numrat natyrorë, N Numra të plotë, Z Numrat racional, Q Numrat realë, R Mbledhja, shumëzimi Zbritja, pjesëtimi, rrënjëzimi Mbledhja, zbritja, shumëzimi Pjesëtimi, rrënjëzimi Mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi Nxjerrja e rrënjëve nga numra jonegativ Mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi, nxjerrja e rrënjëve nga numrat jonegativë Nxjerrja e rrënjëve nga numrat arbitrar Numrat kompleks, C Të gjitha veprimet

Kushtet minimale që duhet të plotësojnë numrat kompleks: C 1) Ekziston një rrënjë katrore e, d.m.th. ekziston një numër kompleks katrori i të cilit është . C 2) Bashkësia e numrave kompleks përmban të gjithë numrat realë. C 3) Veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave kompleksë plotësojnë ligjet e zakonshme të veprimeve aritmetike (shoqëruese, komutative, shpërndarëse). Plotësimi i këtyre kushteve minimale na lejon të përcaktojmë të gjithë grupin C të numrave kompleksë.

Numrat imagjinarë i = - 1, i - njësia imagjinare i , 2 i , -0,3 i - numra thjesht imagjinarë Veprimet aritmetike në numra thjesht imagjinarë kryhen në përputhje me kushtin C3. ku a dhe b janë numra realë. AT pamje e përgjithshme rregullat për veprimet aritmetike me numra thjesht imagjinarë janë si më poshtë:

Numrat kompleks Përkufizimi 1 . Një numër kompleks është shuma e një numri real dhe një numri thjesht imagjinar. Përkufizimi 2. Dy numra kompleks quhen të barabartë nëse pjesët e tyre reale janë të barabarta dhe pjesët imagjinare janë të barabarta:

Klasifikimi i numrave kompleks Numrat kompleks a + bi Numrat real b = o Numrat imagjinarë b ≠ o Numrat racional Numrat iracional Numrat imagjinarë me pjesë reale jozero a ≠ 0, b ≠ 0. Numrat thjesht imagjinarë a = 0, b ≠ 0.

Veprimet aritmetike mbi numrat kompleks (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Numrat kompleksë të konjuguar Përkufizimi: Nëse mbajmë pjesën reale të një numri kompleks dhe ndryshojmë shenjën e pjesës imagjinare, atëherë marrim një numër kompleks të konjuguar me atë të dhënë. Nëse një numër kompleks i dhënë shënohet me shkronjën z, atëherë konjugati shënohet me: : . Nga të gjithë numrat kompleksë, numrat realë (dhe vetëm ata) janë të barabartë me numrat e tyre të konjuguar. Numrat a + bi dhe a - bi quhen numra kompleksë reciprokisht të konjuguar.

Vetitë e numrave të konjuguar Shuma dhe prodhimi i dy numrave të konjuguar është një numër real. Konjugati i shumës së dy numrave kompleks është i barabartë me shumën e konjugimeve të numrave të dhënë. Konjugati i ndryshimit të dy numrave kompleks është i barabartë me diferencën e konjugimeve të numrave të dhënë. Konjugati i prodhimit të dy numrave kompleks është i barabartë me produktin e bashkëngjitjeve të numrave të dhënë.

Vetitë e numrave të konjuguar Numri i konjuguar me herësin e dy numrave kompleksë, pjesëtuesi i të cilëve është i ndryshëm nga zero, është i barabartë me herësin e numrave të konjuguar, d.m.th.

Shkallët e njësisë imagjinare Sipas përkufizimit, shkalla e parë e numrit i është vetë numri i dhe shkalla e dytë është numri -1: . Fuqitë më të larta të i gjenden si më poshtë: i 4 = i 3 ∙ i = -∙ i 2 = 1; i 5 \u003d i 4 ∙ i \u003d i; i 6 \u003d i 5 ∙ i \u003d i 2 \u003d - 1, etj. i 1 = i , i 2 = -1 Natyrisht, për çdo n natyral i 4n = 1; i 4n+1 = i ; i 4n +2 = - 1 i 4n+3 = - i .

Nxjerrja e rrënjëve katrore nga numrat kompleks në formë algjebrike. Përkufizimi. Numri w quhet rrënja katrore e numrit kompleks z nëse katrori i tij është i barabartë me z: Teorema. Le të jetë z=a+bi një numër kompleks jozero. Atëherë ekzistojnë dy numra kompleksë të kundërt, katrorët e të cilëve janë të barabartë me z. Nëse b ≠ 0, atëherë këta dy numra shprehen me formulën:

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks. Numri kompleks z në planin koordinativ i përgjigjet pikës M(a, b). Shpesh, në vend të pikave në rrafsh, ata marrin vektorët e rrezes së tyre Përkufizimi: Moduli i një numri kompleks z = a + bi është një numër jo negativ i barabartë me distancën nga pika M në origjinën b a M (a, b ) y x O φ

Forma trigonometrike e një numri kompleks ku φ është argumenti i një numri kompleks, r = - moduli i një numri kompleks,

Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave kompleks të dhënë në formë trigonometrike Teorema 1 . Nëse dhe atëherë: b) a) Teorema 2 (formula e De Moivre). Le të jetë z çdo numër kompleks jozero, n çdo numër i plotë. Pastaj

Nxjerrja e rrënjës së një numri kompleks. Teorema. Për çdo numër natyror n dhe numër kompleks jo zero z, ka n vlera të ndryshme të rrënjës së shkallës n. Nese nje

Numrat kompleks Numrat kompleks dhe veprimet mbi to.

Sistemi i numrave Veprimet algjebrike të lejuara Veprimet algjebrike pjesërisht të lejuara. Numrat natyrorë, N Mbledhja, shumëzimi Zbritja, pjesëtimi, nxjerrja e rrënjëve. Por nga ana tjetër, ekuacioni nuk ka rrënjë në N numra të plotë, Z Mbledhje, zbritje, shumëzim. Ndarja, nxjerrja e rrënjëve. Por nga ana tjetër, ekuacioni nuk ka rrënjë në Z Numrat racional, Q Mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi. Nxjerrja e rrënjëve nga numrat jonegativë. Por nga ana tjetër, ekuacioni nuk ka rrënjë në Q Numrat Real, R Mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi, marrja e rrënjëve nga numrat jonegativë. Nxjerrja e rrënjëve nga numra arbitrar. Por nga ana tjetër, ekuacioni nuk ka rrënjë në R Numrat kompleks, C Të gjitha veprimet

KUSHTET që duhet të plotësojnë numrat kompleksë ... 1. Ekziston një numër kompleks katrori i të cilit është -1 2. Bashkësia e numrave kompleks përmban të gjithë numrat realë. 3. Veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave kompleksë plotësojnë ligjin e zakonshëm të veprimeve aritmetike (asociative, komutative, shpërndarëse)

Forma e një numri kompleks Në terma të përgjithshëm, rregullat për veprimet aritmetike me numra thjesht imagjinarë janë si më poshtë: ai+bi =(a+b) i ; ai-bi=(a-b) i ; a(bi)=(ab) i ; (ai)(bi)=abi²=- ab (a dhe b janë numra realë) i²= -1, i - njësi imagjinare

Përkufizime Përkufizimi #1 Një numër kompleks është shuma e një numri real dhe një numri thjesht imagjinar. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i është njësia imagjinare. Në shënimin z \u003d a + bi, numri a quhet pjesa reale e numrit kompleks z, dhe numri b quhet pjesa imagjinare e numrit kompleks z. Përkufizimi №2 Dy numra kompleks quhen të barabartë nëse pjesët e tyre reale janë të barabarta dhe pjesët e tyre imagjinare janë të barabarta. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Përkufizimi nr. 3 Nëse mbajmë pjesën reale të një numri kompleks dhe ndryshojmë shenjën e pjesës imagjinare, atëherë marrim një numër kompleks të konjuguar me këtë. Z=X+YI X - YI

Formulat Shuma e numrave kompleks: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) Diferenca e numrat kompleks : z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) Prodhimi i numrave kompleks: (a+bi)(c+di)= i (ac-bd )+( bc+ad) Formula për herësin e dy numrave kompleks: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 Veti Vetia 1 Nëse z = x + yi , atëherë z*z = x ² + y ² z 1 Edhe numëruesi edhe emëruesi i thyesës duhet të shumëzohen me konjugatin e emëruesit. Vetia 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 d.m.th. konjugati i shumës së dy numrave kompleks është i barabartë me shumën e konjugimeve të numrave të dhënë. Vetia 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, d.m.th. konjugati i ndryshimit të dy numrave kompleks është i barabartë me diferencën e konjugimeve të numrave të dhënë.

Vetia 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 d.m.th. numri i konjuguar me prodhimin e dy numrave kompleks është i barabartë me prodhimin e numrave të konjuguar të dhënë. Nga ana tjetër, Z 1= a-bi, c- di , pra Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) Vetia 5 Vetia 6

Interpretimi gjeometrik i një numri kompleks. Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Mbledhja dhe shumëzimi i numrave kompleks. Forma algjebrike Forma gjeometrike Produkti Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1 + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] Produkt (A+iB) (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Shuma (A+iB) + (C+iD )= (A+C)+(B+D)I

Formula Moivre Për çdo Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 dhe çdo numër natyror n

Teorema e Gausit: Çdo ekuacion algjebrik ka të paktën një rrënjë në bashkësinë e numrave kompleksë.Çdo ekuacion algjebrik i shkallës n ka saktësisht n rrënjë në bashkësinë e numrave kompleksë. Formula e dytë e De Moivre përcakton të gjitha rrënjët e një ekuacioni me dy terma të shkallës n

Faleminderit per vemendjen! Prezantimi u bë nga: një nxënëse e klasës 10 "a" MOAU "Gjimnazi nr. 7" i Orenburgut Elimova Maria.

1,85  -2  0,8 Bota e numrave është e pafundme.  Idetë e para për numrin lindën nga numërimi i objekteve (1, 2, 3 etj.) - NUMRAT NATYROR.  Më pas, THYESAT lindën si rezultat i matjes së gjatësisë, peshës etj. (, etj.)  NUMRAT NEGATIVE, u shfaqën me zhvillimin e algjebrës .), numrat negativë (-1, -2, -3, etj. dhe zero. ), thyesat quhen NUMRA RACIONAL. ,  Numrat racional nuk mund të shprehin saktë gjatësinë e diagonales së një katrori nëse gjatësia e brinjës është e barabartë me njësinë matëse. Për të shprehur me saktësi marrëdhënien e segmenteve të pakrahasueshëm, duhet të futni një numër të ri:  IRRACIONAL (etj.) Racional dhe irracional - formoni një bashkësi: Numrat realë. Kur merren parasysh numrat realë, u vu re se në grupin e numrave realë është e pamundur, për shembull, të gjendet një numër katrori i të cilit është i barabartë me. Kur merren parasysh ekuacionet kuadratike me diskriminues negativë, u vu re gjithashtu se ekuacione të tilla nuk kanë rrënjë që do të ishin numra realë. Për t'i bërë problema të tilla të zgjidhshme, paraqiten numra të rinj - Numrat kompleks Numrat kompleks 2=-1 3=- = 4 =1 b - Numrat imagjinarë a + b - Numrat kompleks a, b - Numrat e çdonjërit real Numrat kompleks të shkuar dhe të tashëm. Numrat kompleks u shfaqën në matematikë më shumë se 400 vjet më parë. Për herë të parë kemi hasur në rrënjët katrore të numrave negativë.  Çfarë është, çfarë kuptimi duhet t'i jepet kësaj shprehjeje, askush nuk e dinte. Rrënja katrore e çdo numri negativ nuk ka kuptim në bashkësinë e numrave realë. Kjo haset gjatë zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, kubike, ekuacioneve të shkallës së katërt. MATEMATIKA KONSIDEROHET: LEONHARD EULER Rrënjët katrore të numrave negativë - sepse nuk janë më të mëdhenj, as më të vegjël dhe jo të barabartë me zero - nuk mund të numërohen në numrat e mundshëm. Gottfried Wilim Leibnetz Gottfried Leibnetz i quajti numrat kompleks "një strehë e këndshme dhe e mrekullueshme e shpirtit hyjnor", një i degjeneruar i botës së ideve, një qenie pothuajse e dyfishtë, midis qenies dhe mosqenies. Ai madje la amanet të vizatonte një shenjë në varrin e tij si simbol i botës tjetër. K. Gauss në fillim të shekullit të 19-të sugjeroi t'i quanin "numra kompleksë". K. F. Gauss Format e numrave kompleks: Z=a+bi - forma algjebrike Z=r() - trigonometrike Z=rE - eksponenciale Numrat kompleksë përdoren:  Gjatë përpilimit të hartave gjeografike  Në teorinë e ndërtimit të avionëve  Përdoret në studime të ndryshme mbi teoria e numrave  Në elektromekanikë  Gjatë studimit të lëvizjes së trupave qiellorë natyrorë dhe artificialë etj. e. Dhe në fund të prezantimit, duke ofruar zgjidhjen e fjalëkryqit "Kontrollo veten" 8 1 3 2 7 5 6 4 1. Cili është emri i numrit të formës Z \u003d a + bc? 2. Deri në çfarë mase të njësisë imagjinare përftohet? 3. Si quhen numrat që ndryshojnë vetëm në shenjë në pjesën imagjinare? 4. Gjatësia e vektorit. 5. Këndi nën të cilin ndodhet vektori. 6. Cila është forma e një numri kompleks: Z=r(cos +sin)? 7. Cila është forma e numrit kompleks Z=re? 8. Shiko D \u003d b -4ac, çfarë është D?

Pas studimit të temës “Numrat kompleks
studentët duhet:
Dije:
forma algjebrike, gjeometrike dhe trigonometrike
numër kompleks.
Te jesh i afte te:
kryejnë veprime mbledhjeje në numra kompleks,
shumëzim, zbritje, pjesëtim, fuqizim, nxjerrje
rrënja e një numri kompleks;
shndërroni numrat kompleks nga forma algjebrike në
gjeometrike dhe trigonometrike;
të përdorë interpretimin gjeometrik të numrave kompleks;
në rastet më të thjeshta, gjeni rrënjët komplekse të ekuacioneve me
koeficientët realë.

Me cilat grupe numrash jeni njohur?

numra imagjinarë

Numrat kompleks

Klasifikimi i numrave kompleks

Veprimet aritmetike mbi numrat kompleks

Lidh numrat kompleks

Vetitë e numrave të konjuguar

Vetitë e numrave të konjuguar

Fuqitë e njësisë imagjinare

Nxjerrja e rrënjëve katrore nga numrat kompleks në formë algjebrike.

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks.

Forma trigonometrike e një numri kompleks

Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave kompleks të dhënë në formë trigonometrike

Nxjerrja e rrënjës së një numri kompleks.