Funciones cuadráticas y cúbicas. Funciones cuadráticas y cúbicas Dibujar un gráfico 4x 2

Secciones: Matemáticas

Tema:“Trazar una función cuadrada que contiene un módulo”.
(Usando el ejemplo de la gráfica de la función y = x 2 - 6x + 3.)

Objetivo.

Investigue la ubicación de la gráfica de la función en el plano de coordenadas, según el módulo.
Desarrollar habilidades para trazar una función que contenga un módulo.

Durante las clases.

1. La etapa de actualización de conocimientos.

a) Comprobación de la tarea.

Ejemplo 1. Construye una gráfica de la función y = x 2 - 6x + 3. Calcula los ceros de la función.

Solución.

2. Coordenadas del vértice de la parábola: x = - b / 2a = - (-6) / 2 = 3, y (3) = 9 - 18 + 3 = - 6, A (3; -6).

4. Ceros de la función: y (x) = 0, x 2 - 6x + 3 = 0, D = 36 - 43 = 36 - 12 = 24, D> 0,

x 1,2 = (6 ±) / 2 = 3 ±; B (3 -; 0), C (3 +; 0).

Gráfico en la Fig.1.

Algoritmo para construir una gráfica de una función cuadrada.

1. Determina la dirección de las "ramas" de la parábola.

2. Calcula las coordenadas del vértice de la parábola.

3. Escribe la ecuación del eje de simetría.

4. Calcule varios puntos.

b) Considere la construcción de gráficas de funciones lineales que contienen el módulo:

1.y = | x |. Gráfico de funciones en la Figura 2.

2.y = | x | + 1. La gráfica de la función en la Figura 3.

3.y = | x + 1 |. Gráfico de funciones Figura 4.

Producción.

1. La gráfica de la función y = | x | + 1 se obtiene de la gráfica de la función y = | x | traslación paralela al vector (0; 1).

2. La gráfica de la función y = | x + 1 | se obtiene de la gráfica de la función y = | x | traducción paralela por vector (-1; 0).

2.Opiratsionno-parte ejecutiva.

Escenario trabajo de investigación... Trabajo en equipo.

Grupo 1. Construye gráficas de funciones:

a) y = x 2 - 6 | x | + 3,

b) y = | x 2 - 6x + 3 |.

Solución.

1. Construya una gráfica de la función y = x 2 -6x + 3.

2. Muéstrelo simétricamente con respecto al eje Oy.

Gráfico en la Figura 5.

b) 1. Construya una gráfica de la función y = x 2 - 6x + 3.

2. Muéstrelo simétricamente con respecto al eje del Buey.

Gráfico de funciones en la Figura 6.

Producción.

1. La gráfica de la función y = f (| x |) se obtiene a partir de la gráfica de la función y = f (x), mapeando con respecto al eje Oy.

2. La gráfica de la función y = | f (x) | se obtiene de la gráfica de la función y = f (x), mapeo relativo al eje Ox.

Grupo 2: Construye gráficas de funciones:

a) y = | x 2 - 6 | x | + 3 |;

b) y = | x 2 - 6x + 3 | - 3.

Solución.

1. La gráfica de la función y = x 2 + 6x + 3 se muestra en relación con el eje Oy, la gráfica de la función y = x 2 - 6 | x | + 3.

2. El gráfico resultante se muestra simétricamente con respecto al eje Ox.

Gráfico de funciones en la Figura 7.

Producción.

Gráfica de la función y = | f (| x |) | se obtiene del gráfico de la función y = f (x), mediante visualización secuencial relativa a los ejes de coordenadas.

1. La gráfica de la función y = x 2 - 6x + 3 se muestra en relación con el eje Ox.

2. La gráfica resultante se transfiere al vector (0; -3).

Gráfico de funciones en la Figura 8.

Producción. La gráfica de la función y = | f (x) | + a se obtiene de la gráfica de la función y = | f (x) | por traslación paralela al vector (0, a).

Grupo 3: Gráfico de función de trazado:

a) y = | x | (x - 6) + 3; b) y = x | x - 6 | + 3.

Solución.

a) y = | x | (x - 6) + 3, tenemos un conjunto de sistemas:

Construimos una gráfica de la función y = -x 2 + 6x + 3 en x< 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.

Gráfico de funciones en la Figura 9.

b) y = x | x - 6 | + 3, tenemos un conjunto de sistemas:

Construimos una gráfica de la función y = - x 2 + 6x + 3 en x 6.

2. Coordenadas del vértice de la parábola: x = - b / 2a = 3, y (3) = 1 2, A (3; 12).

3. Ecuación del eje de simetría: x = 3.

4. Varios puntos: y (2) = 11, y (1) = 3; y (-1) = - 4.

Construimos una gráfica de la función y = x 2 - 6x + 3 en x = 7 y (7) = 10.

Gráfico en la Fig.10.

Producción. Al resolver este grupo de ecuaciones, es necesario considerar los ceros de los módulos contenidos en cada una de las ecuaciones. Luego construya una gráfica de la función en cada uno de los intervalos obtenidos.

(Al graficar estas funciones, cada grupo examinó el efecto del módulo en la apariencia del gráfico de funciones y llegó a las conclusiones apropiadas).

Obtuve una tabla dinámica para gráficos de funciones que contienen un módulo.

Una tabla para trazar las gráficas de funciones que contienen un módulo.

Grupo 4.

Trace una gráfica de función:

a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |;

b) y = | x 2 - 5x | + x - 3.

Solución.

a) y = x 2 - 5x + | x - 3 |, pasamos al conjunto de sistemas:

Construimos una gráfica de la función y = x 2-6x + 3 en x 3,
entonces la gráfica de la función y = x 2 - 4x - 3 para x> 3 a lo largo de los puntos y (4) = -3, y (5) = 2, y (6) = 9.

Gráfico de funciones en la Figura 11.

b) y = | x 2 - 5x | + x - 3, pasamos al conjunto de sistemas:

Construimos cada gráfico en el intervalo correspondiente.

Gráfico de funciones en la Figura 12.

Producción.

Descubrimos la influencia del módulo en cada término sobre el tipo de gráfico.

Trabajo independiente.

Trace una gráfica de función:

a) y = | x 2 - 5x + | x - 3 ||,

b) y = || x 2 - 5x | + x - 3 |.

Solución.

Los gráficos anteriores se muestran en relación con el eje Buey.

Grupo 5

Grafique la función: y = | x - 2 | (| x | - 3) - 3.

Solución.

Considere los ceros de dos módulos: x = 0, x - 2 = 0. Obtenemos intervalos de signo constante.

Tenemos un conjunto de sistemas de ecuaciones:

Construimos una gráfica para cada uno de los intervalos.

Gráfico en la Figura 15.

Producción. Los dos módulos de las ecuaciones propuestas han complicado significativamente la construcción de un gráfico general, que consta de tres gráficos separados.

Los estudiantes registraron las actuaciones de cada uno de los grupos, anotaron sus conclusiones y participaron en un trabajo independiente.

3. Asignación a domicilio.

Cree gráficos de funciones con diferentes ubicaciones de módulos:

1.y = x 2 + 4x + 2;

2.y = - x 2 + 6x - 4.

4. Etapa reflexiva - evaluativa.

1. Las calificaciones de una lección se componen de notas:

a) para trabajar en grupo;

b) para trabajo independiente.

2. ¿Cuál fue el momento más interesante de la lección?

3. ¿Su tarea es difícil?

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La función y = x ^ 2 se llama función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Forma general La parábola se muestra en la siguiente figura.

Función cuadrática

Fig 1. Vista general de la parábola

Como puede ver en el gráfico, es simétrico con respecto al eje Oy. El eje Oy se denomina eje de simetría de la parábola. Esto significa que si dibuja una línea recta paralela al eje Buey por encima de este eje. Luego cruzará la parábola en dos puntos. La distancia desde estos puntos al eje Oy será la misma.

El eje de simetría divide la gráfica de la parábola en dos partes, por así decirlo. Estas partes se llaman ramas de la parábola. Y el punto de la parábola que se encuentra en el eje de simetría se llama vértice de la parábola. Es decir, el eje de simetría pasa por el vértice de la parábola. Las coordenadas de este punto (0; 0).

Propiedades básicas de una función cuadrática

1. Para x = 0, y = 0 e y> 0 para x0

2. La función cuadrática alcanza su valor mínimo en su vértice. Ymin en x = 0; También cabe señalar que la función no tiene un valor máximo.

3. La función disminuye en el intervalo (-∞; 0] y aumenta en el intervalo)